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第七章 常微分方程数值解法 1 、引言 微分方程的数值解：设方程问题的解y(x) 的存在区间是a,b，令a= x0 x1 xn =b, 其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得 到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk 上y(xk)的近似值，用yk表示，即yky(xk)，这 样y0 , y1 ,.,yn称为微分方程的数值解。 主要问题 v如何将微分方程离散化，并建立求 其数值解的递推公式； v递推公式的局部截断误差，数值解 与精确解的误差估计； v递推公式的稳定性与收敛性。 v用差商代替微商 v数值积分 vTaylor展开 微分方程离散化常用方法 1 解常微分方程初值问题的 Euler方法 Euler方法 Euler方法的误差分析 v向前Euler公式（Euler折线法或显格式） v向后Euler公式（后退Euler公式） v梯形公式（改进的Euler公式） vEuler预估校正格式 一、Euler方法 1、向前Euler公式 用分段的折线 逼近逼近函数 2、向后（后退的）Euler 方法 3、梯形公式 4、改进的尤拉公式 梯形公式虽然提高了精度，但使算法复 杂。而在实际计算中只迭代一次，这样 建立的预测校正系统称作改进的尤拉 公式。 二、Euler方法的误差分析 2） 总体方法误差 总体截断误差与局部截断误差的关系是 ： 误差分析表 Euler方法局部截 断误差 总体截 断误差 迭代收敛 条件 向前Euler 方法 O(h2)O(h) 向后Euler 方法 O(h2)O(h)0hL1 梯形公式O(h3)O(h2)0hL2 (L为为Lip常数 ） 向后Euler 方法收敛条件与截 断误差 梯形公式的收敛性 2.龙格库塔方法 基本思想 二阶R-K方法 三阶R-K方法 四阶R-K方法 变步长R-K方法 一、基本思想 二、二阶龙格库塔方法 三、三阶龙格库塔方法 四、四阶龙格库塔方法 五、变步长的龙格库塔 方法 4、微分方程数值解的稳定性 Euler法的绝对稳定区域 向后Euler 法的稳定性 梯形公式的稳定性 R-K方法的绝对稳定区域 基本思想 4.线性多步法 线性多步公式的导出 二、常用的线性多步公式 利用数值积分方法求线性 多步公式 一阶常微分方程组与高阶方程 我们已介绍了一阶常微分方程初值问题的 各种数值解法，对于一阶常微分方程组，可类似得 到各种解法，而高阶常微分方程可转化为一阶常微 分方程组来求解。 一阶常微分方程组 对于一阶常微分方程组的初值问题 （5.1） 可以把单个方程 中的f 和y看作向量 来处理，这样就可把前面介绍的各种差分算法推广 到求一阶方程组初值问题中来。 设 为节点上的近似解， 则有改进的Euler格式为 预报： 校正： （7.32） 又，相应的四阶龙格库塔格式（经典格式）为 （7.33） 式中 （7.34） 把节点xi上的yi和zi值代入式(7.34), 依次算出 , 然后把它们代入式(7.33), 算出节点xi+1上的yi+1 和zi+1值。 对于具有三个或三个以上方程的方程组的初值问 题,也可用类似方法处理,只是更复杂一些而已。此外, 多步方法也同样可以应用于求解方程组初值问题。 例 用改进的Euler法求解初值问题 取步长h=0.1，保留六位小数。 解: 改进的Euler法公式为 预报 ： 校正： 将 及h=0.1代入上式,得 由初值 ,计算得 高阶方程组 高阶微分方程(或方程组)的初值问题,原则上都 可以归结为一阶方程组来求解。例如,有二阶微分方 程的初值问题 在引入新的变量 后,即化为一阶方程组初值问题: 式（7.36）为一个一阶方程组的初值问题，对此可 用7.7.1中介绍的方法来求解。例如应用四阶龙格- 库塔公式得 消去 ，上式简化为： 上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方 程（或方程组）的初值问题 例 求解下列二阶微分方程的初值问题 取步长h=0.1 解:先作变换：令 ，代入上式，得一阶方程组 用四阶龙格-库塔方法求解,按式(7.37)及(7.38) 进行计算： 取步长 , , , 时 然后计算 时的 y2和z2；依此类推，直到i=9时的y10和z10，即可得到 其数值解。 本章小结 本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值 解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法 、改进欧拉法和龙格库塔方法。多步法是亚当姆 斯法。它们都是基于把一个连续的定解问题离散化 为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用 多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。 实际应用时，选择合适的算法有一定的难度， 既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误 差和收敛性、稳定性。 龙格-库塔法较为常用，适用于多步方法中作初 值计算和函数f(x,y)较为简单的场合。四阶标准龙格 库塔法精度高，程序简单，易于改变步长，比较 稳定，也是一个常用的方法，但计算量较大。当函 数f(x,y)较为复杂，可用显式亚当姆斯方法或亚当姆 斯预测校正方法，不仅计算量较