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文档简介

Chapter 3(1)Chapter 3(1) 导数概念导数概念 教学要求： 1. 理解导数的概念; 2. 理解导数的几何意义; 3. 理解函数的可导性与连续性之间的关系; 4. 掌握用导数定义求导数. 难点：函数的可导性与连续性之间的关系 一.引例 1.切线问题 割线的极限位置切线 割线 MN 的斜率为 2.速度问题 二.导数定义 (变化率) 定义: (导函数) 3.单侧导数 (左右导数) 左导数: 右导数: 注意: (3)单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的 可导性时碰到, 并且有结论: (5) 速度是路程函数的导数, 即 三. 用定义求函数导数举例 步骤: Solution. 由导数定义得 Solution. 注意: Solution. Solution. Solution. 四. 导数的几何意义与物理意义 切线方程: 法线方程: 1.几何意义 注意: 此时切线与x轴平行; 此时切线与x轴垂直. (2)当导数存在时, 一定能够找到切线; 反之, 当有切线时,不一定导数存在! Solution. 割线的斜率为 所求点为 (2,4). 2.物理意义 (非均匀变化量的瞬时变化率) 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度. 五. 函数的可导性与连续性的关系 定理: -可导必连续 Proof. 注意: Solution. Solution. 所以 f (x) 在 x=0 处连续. Solution. 因为 f(x) 在 x=1处连续,可得 由 f (x)在 x=1处可导,可得 Solution. Solution. 连续函数不存在
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