D84偏导数与全微分.ppt

第八章 第四节 偏 导 数 与 全 微 分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 偏导数 二. 全微分 本节的教学要求 理解偏导数与全微分的概念 熟练掌握偏导数和全微分的计算 重点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一) 偏导数 表示函数f (x)在x0处的变化率. 对于二元函数f (x,y),可以保持两个自变量中的一个 不变, 来研究函数对于另一个变量的变化率. 一元函数f (x)在点x0处的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 回顾一元函数的导数概念: 如在 (x0,y0),保持y=y0,研究x从x0变到x0+x时函数关 于x的变化率. 这就引入了偏导数的概念. 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是将 中的 x 固定于求 t 的一阶导数与二阶导数. x0 处,关于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 振幅 偏改变量或偏增量 全改变量或全增量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 设函数 的某邻域内有定义, 当x从x0变到x0+x, 而y保持y0不变时, 函数的改变量 称为函数f (x,y)对于x的偏改变量或偏增量. 类似地, 函数的改变量 称为函数f (x,y)对于y的偏改变量或偏增量. 当x从x0变到x0+x, y从y0变到y0+y时, 函数的改变量 称为函数 f (x,y) 的全改变量或全增量. 定义8.5 在点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 同样, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 设函数 的某邻域内 有定义, 如果当 时, 极限 存在,则称此极限为函数 导数, 处对x的偏 在点 处对y的偏 导数, 记作 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数 在平面区域D内每一点(x,y)处对 x(或y)的偏导数都存在, 则称函数 x(或y)的偏导函数, 简称偏导数, 在D内有对 记作 注意: 记号是一个整体记号, 将分子分母拆开就 毫无意义.这和导数符号 是不同的. 例如, 若三元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处存在对x,y,z的偏导数, 在点 则 在该点的偏 类似地, 可以定义一般的n (n2) 元函数的偏导数. 导数为 例1 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的偏导数 并求 求函数 例2 的偏导数 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数 例3 设 证: 求证 例4 求的偏导数 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以看出, 就是该函数在点 即 处对于x和对于y的变化率, 在点 函数处的偏导数， 偏导数的几何意义 切线M0Tx对x轴的斜率. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示曲面 表示曲面 与平面 在空间中的点 的交线 类似地， 与平面 处切线M0Ty对y轴的斜率. 的交线 处 在空间 中的点 即使函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意： 不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 在该点却 即二元函数, 偏导数存在 连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 1. 作业: P362 4(1)(3)(5)(8), 5(2)(4), P369 6, 7 求下列函数的偏导数 2. 1. 2. (二) 高阶偏导数 一般说来， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 还是x, y的二元函数， 的偏导数也存在， 导数， 的偏导数 或 函数 如果这两个函数对自变量x和y 则称这些偏导数为函数的二阶偏 记作 共4个.混合偏导数 仿此， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等. 可定义二元函数更高阶的偏导数， 一共有 个. 如二元函数的三阶偏导数有 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 例5 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的各二阶偏导数求 例6 求的各二阶偏导数 解: 可以证明：当二阶混合偏导数 连续 必有时, 否则, 二者不一定相等. 例如, 二者不等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 v “若混合偏导数连续, 则混合偏导数与求导的顺序 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 的结论对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶 混合偏导数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 无关” 例7 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证满足 类似地, 有 类似地, 有 所以 例8 P+P时需求量Q的平均变化率， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 需求量Q对于价格P的偏改变量为 函数 设某货物的需求量Q是其价格P及消费者收入Y的 当消费者收入Y保持不变， P， 价格P改变 而比值 是价格由P变到 格为P,消费者收入为Y时, 需求量Q对于价格P的变化率， 称为需求对价格的偏弹性. 是当价 类似地， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是当价格不变, 消费者收入Y改变Y时, 需求量Q对于 对收入Y的变化率。 称为需求对收入的偏弹性。 收入Y的偏改变量。 是收入从Y改变到Y+Y时需求量Q的平均变化率. 是当价格为P、收入为Y时, 需求量Q 课堂练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 1. 求函数的二阶偏导数. 2. 证明: 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因 所以 设则 (三) 全微分 研究二元函数在所有自变量都有 是的线性函数， 而 一般地, 对二元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 矩形面积 函数改变量的变化 有下述结论. 微小变化时, (借助可证) 情况。 定义8.6 如果函数 z=f (x, y)在定义域 D 的内点(x , y) 可表示成 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. 记作 (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由全微分定义 : 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 定理8.1 证: 即全微分 f (x,y)在该点的偏导数 上式两端除以x, 并令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 且 在点(x,y)处可微, 存在, 令 在点(x,y)处可微, 取极限, 得 则 即 则函数 且有 设 存在, 且 (可微的必要条件) 同理可证 或 同理有 于是, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在, 所以, 全微分 不失一般性, 则 且 令 定理8.2 可微. (证明略). 在点(x,y)的某一邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 连续的偏导数 则 在点(x,y)处 (可微的充分条件) 函数 点(x,y)存在偏导数 在函数 在点 (x,y) 可微 函数 (x,y)存在连续的偏导数 在点 函数 在点 (x,y) 连续 定理8.1 在点(0,0)处偏导数存在,但不可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不是可微的充分条件的例子 函数 二元函数 例9 如三元函数 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分的概念可以推广到一般的n(n2)元 时全微分的值. 函数. 则全微分为 求函数 的全微分, 所以 由于 全微分为 可微, 并计算函数在 当时, 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10 求函数 的全微分. 所以 例11 计算函数的全微分. 解: 可知当 全微分在近似计算中的应用 由全微分定义 较小时,及有近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例12 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱 例13 高为4米, 厚度均为0.01米, 解：因为圆柱的体积 所以需用材料为0.2立方米, 0.200801立方米相当接近. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要造一个无盖的圆柱形水槽, 求需用材料多少立方米? 与直接计算V的值 其内半径为2米, 例14 计算的近似值. 解: 设,则 取 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习 解: 2. 求全微分的值 1. 求全微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 内容小结 1. 全微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P363 6(1)(3)(4); 8(2)(4)(5); 9(1); 12 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续