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第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理. 证明: 令, 则 令则 所以且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 其中 令 ( 在 f (x) 的 连续点处 ) 证毕 说明: 其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 例. 把展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? (2) 将 作偶周期延拓, 则有 说明: 此式对也成立, 由此还可导出 据此有 为正弦 级数. 内容小结 1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 (x 间断点) 其中 当f (x)为奇 函数时,
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