D14无穷小无穷大D15极限运算法则.ppt

1/36 高等数学（上）高等数学（上） 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 一、无穷小 第四节 无穷小与无穷大 四、学习无穷小与无穷大的意义 2/36 高等数学（上）高等数学（上） 定义1 若时,函数(或 ) 则称函数为(或 )时的无穷小. 当 例如:函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小. 说明 (1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小. (2)变量是否为无穷小与变化过程有关. 一、无穷小 3/36 高等数学（上）高等数学（上） 定理1 (无穷小与函数极限的关系) 其中(x)为 时的无穷小量. 定理2 有限个无穷小的代数和是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小之积为无穷小. 推论1 常数与无穷小之积为无穷小. 4/36 高等数学（上）高等数学（上） 若在定义2中将式改为 则记作 则称函数当时为无穷大,记作 定义2 若任给 M 0, 一切满足不等式 的X,总有 使对 (正数X),总存在 5/36 高等数学（上）高等数学（上） 注意 1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种过程; 2.函数为无穷大,必定无界;但反之不真. 例如:函数 不是无穷大. 3.若 则直线为曲线 的铅直渐近线. 6/36 高等数学（上）高等数学（上） 1.无穷大与有界变量的代数和是无穷大. 2.无穷大与非零常数的乘积是无穷大. 3.无穷大与无穷大的乘积是无穷大. 注意 1.无穷大与无穷大之和不一定是无穷大. 但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大. 无穷大的性质 2.无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大. 7/36 高等数学（上）高等数学（上） 8/36 高等数学（上）高等数学（上） 若为无穷大,为无穷小; 若为无穷小,且 则为无穷大. 则 由定理4,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4 在自变量的同一变化过程中, 说明 9/36 高等数学（上）高等数学（上） 对一个函数而言,在自变量的某个变化过程中,其 无穷小恰为极限存在时的特殊情况,无穷大是极限不 要么有极限,要么无极限,二者必居其一,且仅居其一. 存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形,就可以 有助于解决一般性的问题. 10/36 高等数学（上）高等数学（上） 11/36 高等数学（上）高等数学（上） 一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、极限的计算方法 第五节 极限运算法则 12/36 高等数学（上）高等数学（上） 定理1 注意 使用运算法则前提,参与运算的极限都存在. 13/36 高等数学（上）高等数学（上） 推论 14/36 高等数学（上）高等数学（上） 定理2 说明 若定理中则类似可得 15/36 高等数学（上）高等数学（上） 1.直接利用极限运算法则 16/36 高等数学（上）高等数学（上） 小结 代入法 例如 17/36 高等数学（上）高等数学（上） 2.无穷小与有界变量乘积仍为无穷小 3.无穷小与无穷大的关系 18/36 高等数学（上）高等数学（上） 4.分解因式约去零因子(零因子约分法) 例5 计算 例6 计算 19/36 高等数学（上）高等数学（上） 5.有理化约去零因子 例7 计算 例8 计算 例9 计算 20/36 高等数学（上）高等数学（上） 6.分子、分母同除以无穷大量法 例11 注意 21/36 高等数学（上）高等数学（上） 为非负常数) 一般有如下结果： 22/36 高等数学（上）高等数学（上） 23/36 高等数学（上）高等数学（上） 7.无穷大减无穷大:通分或者有理化 24/36 高等数学（上）高等数学（上） 25/36 高等数学（上）高等数学（上） 极限计算的思路分析 无穷小与有界变量乘积为无穷小 无穷小与无穷大的关系 4.分解因式约去零因