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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 Email: 第四节第四节 函数极限函数极限 一、一、 函数连续的概念函数连续的概念 二、二、 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 三、三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 四、四、 初等函数在其定义域上的连续性初等函数在其定义域上的连续性 一、最大值和最小值定理 定义: 设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aO b x y aO bx y Oa b x y Oa b x y y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , 此时, 函数 f (x) 恰好在 a, b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值. 则 则 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时 x y a a1a2a3 a4a5a6 b ma mb y = f (x) O 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 例如,y =x 在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大 值和最小值. 证 x y a a1a2a3 a4a5a6 b ma mb y = f (x) O 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 二、介值定理 定义: 几何解释: 定理(介值定理 ) 设函数)(xf在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf =)( 及 Bbf =)( , 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 () ba,内至少有一点x，使得Cf=)( )(ba 0, b 0 ) 例 证： 1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根. 即方程至少有一个不超过 a + b 的正根. 定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0. 2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0)
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