线性代数练习题答案三

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 19 线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x2?x3? 1. 求解齐次线性方程组 ?3x2? ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解： 化系数矩阵为行最简式 ?121?1?120?行变换 ?A?36?1?3?0010? ?5101?5?0000? 因此原方程同解于 ? ?2x2? x2?k1,x4?求得原方程的解为 ? ?2?1?1?0? x?，其中 k1, 00?0?1? ?4x2? ? 2. 求解非齐次线性方程组 ?3x1?0 ?11x?3x?8 12? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 19 解：把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12?13?3?8?13?r1?行变换 ? ?3?1210?3?1210?0?113?113?0008?08?0? 因此 R?2?R?3，所以原方程组无解。 3. 设 ?,?。求向量 ?，使 2?3?。 解： ? 151? ?3,0,?33? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T 的 秩和一个极大线性无关组 。 解：将 ?1,?5 作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?1?1A? 2?4? 二、练习提高 判断题 03130?11722140 2?1?1?0?50? ?6?0 312 312?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 19 ? 303?0 ?1010? ?2?4?2?0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4? 所以向量组的秩为 3， ?1,?2,?4 是一个极大线性无关组。 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。 设 A 为 m?是非齐次线性方程组 Ax? 若 仅有零解，则 Ax? 若 有非零解，则 Ax? 若 Ax? 有非零解。 ?A 设 A 为 n 阶矩阵， ?是 n 维列向量，若 R?T ? ?A?T? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 19 ? ?R，则线性方程组 ?0? 零 解 。 ?x? ?y?00? 必有非 对矩阵 ?A?E?施行若干次初等变换，当 A 变为 E 时，相应的 E 变为 A?1。 设向量组 ?1,?2,?3 线性无关， ?1可由 ?1,?2,?3 线性表示，而向量 ?2不能由 ?1,?2,?3 线性表示，则对于任意常数 k，必有 ?1,?2,?3， k?1?2 线性相关。 设 n 维列向量组 ?1,?2,?,?s 线性相关， A 是 m? A?1,A?2,?,A?s 线性 相 B 和 A 的秩分别为 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则 A。 关。 R?r?m?n， 设 A 为 m?n 矩阵，则 A 的 r?1 阶子式不精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 19 能为 0。 设 n 元齐次线性方程组的一个基础解系为 ?1,?2,?3,?4，则 ?1,?1?2,?1?2?3, ?1?2?3?4 仍 为该齐次线性方程组的基础解系。 集合 V?x?x1?x2?,是一个向量空间。 填空题 齐次线性方程组 ?0 有非零解的充要条件是 _R?3 ?x1?a1?x?x?a?232 若线性方程组 ?有解，则常数 a1,a2,a3,满足的条件是 ?x3?x4?x1?a4 a1?a2?a3? ?12?2? 设三阶矩阵 A?212?，三维 列向量 ?T，已知 A?与 ?线性相 ?304? 关， 则 a?1 若 ?能由 ?1?,?2?,?3?唯一线性表示，则 k 满足条件 k?0且 k?3 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 19 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为n?1，则线性方程组 的通解为。 由向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?。 计算题 ?x1?x2? ? ? 取 何值时，方程组 ?x2?有唯一解，无解或有无穷多解？在有无 ?x?x?x? 23?1 穷多解时求解。 解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得 ?11?1?11?r1?1?1?B?1?1? ?11?11?1?1?1?1?1r2?r1 ?0?1?1?0?0?1?1?0? 22 ?1?0?2?1?2?01?1?0 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 19 所以 当 ?0,?1 时， R?R?3线性方程组有唯一解。 当 ?0 时， R?2?3?R 线性方程组无解。 当 ?1 时，R?R?2?3 线性方程组有无穷多解。 若 ?1 ， ?111?1?110?1? ?001?0?00?2?0? ?00?2?0?000?0? ，解为 ?1?1? ?x?c?1?0?; ?2?1?0?0? ?11?1?1?10?1?1? ?010?0?， 解为 ?0?20?0? 若 ?1 ，B?000?0?000?0?1?1? ?x?c?0?0?。 ?2?2?1?0? 已知 ?1,?2,?3 线 性 无 关 ，若 ?1?2?2,2?2?a?3,3?3?2?1 线性相关，求 a 的值。 解：由题意知存在不全为 0 的 k1,k2,得 k1?k2?，整理得 ?1?2?3?0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 19 ? ? 因为 ?1,?2,?3 线性无关，从而有齐次线性方程组 ?2 ?k?0 3?2 由 k1,k2,全为 0 知方程组有非零解，则系数行列式必为 0?a? 3 2 设向量 ?1,?2,?,?x?0的一个基础解系，向量 ?不是方程组 的 解 ， 即 A?0 。 试 证 明 ： 向 量组 ?,?1,?2,?,?t 线性无关。 解： 设有一组数 k,得 k? 整理该式得 ?kt?t?0 用 A 左乘上式两边，注意 A?i?0，故有 A?0 因为 A?0?k? 将 代回 式，得到 ?kt?t?0，因为 ?1,?,?t 线性无关，故必有 ?，再由 式，可得 k? 已知向量组 ?1?T,?2?T,?3?T 与向量组 ?1?T， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 19 ?2?T, ?3?T 具有相同的秩，且 ?3 可由 ?1,?2,?3 线性表示，求 a, 解：对矩阵 ?1,?2,?3?做初等行变换 ?139?139? ?206?012?，所以 R?1,?2,?3?2，且 ?1,?2 是一个极大无关组 ?31?7?000? 又因为 R?1,?2,?3?R?1,?2,?3?，所以 1 1?0?a?3b ?110 另一方面， ?3可由 ?1,?2,?3 线性表示，所以 ?3可由 ?1,?2线性表示，即 13b 201?0?b?310 ?x1? 设 4 元齐次线性方程组为 ?，又已知某齐次线性方程组 x?x?04?2 的通解为 ： 方程组的基础解系； 方程组和是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 19 ?1100? 的系数矩阵为 A?010?1?， R?2 ? 故 的基础解系含有 4?2?2个解向量，可取为和 的通解为 k2,x2?k2,x3?k2,x4?入 可得 线性代数测试题 一、选择题 . A,B为 n 阶方阵，满足等式 ，则必有 A?0 或 B?0； ?0； 或 B?0； ?0. 0值等于 A. B.； D. 等于 A.3 n A 是 n 阶矩阵， A*是 A 的伴随矩阵，若 A?2，则 3A* n?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 19 2n?1； 3n ； C. 2 ； n?2 . . A 是 n 阶方阵，且 A=0，则 A 中任意一行向量是其余各行向量的线性组合； A 中至少有一行向量的元素为 0. 的线性组合； D. A 为 m?次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 列向量组线 A 的列向量组线性相关； 行向量组线性无关； 分） 为 B为 A?a,B?b,C? 性无关； B. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 19 二、填空题 1. 计算行列式 33244212333431243444 . ?301? ?2102. 设矩阵和满足关系式，其中 ?. ?014? 3. 已知 T, 求： 与 a1,正交的向量； 与 a1,价 A 的特征值是 1， 2， 3，矩阵 的规范正交向量组 . 设三阶实对称矩阵 A 的属于特征值 1,2的特征向量分别是 , 求 A 的属于特征值 3 的特征向量； 求矩阵A. 5. 设 线性代数测试题答案 一、选择题 二、填空题 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，试证明： 2是对称矩阵 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 19 ?0 .?1. ?A?1? ?111 ?； ； . 1； 2340? 三、计算证明题 1解：第 2 行提取公因子 2，第 3 行提取公因子 3，第 4 行提取公因子 4，再利用范德蒙行列式的结果得 : 11222332442123 . 4！ *3！ *2！ 3 343 1 01 12 ?1 2解：由题设 ?2B,得 B?A，因为 A?2E?1?10?1?0 所以 A?2E 可逆，且 ?101?301?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 19 B?A?1?10?110? ?012?014? ?2?1?1?301?5?2?2? ? ?2?2?1?110?4?3?2?. ?11?1?3?014?22? 3解：设向量 ? 解：用施密特正交化公式，取 ?1 所以与 ? ?2?7 ?1?a2?a1?a2? 7 于是 ?1,?2是与 a1,于 A 是实对称矩阵，所以它的不同特征值对应的特征向量正交 . 设 A 属于特征值 3 的特征向量为 a?T ，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 19 , ? x1?x2? 解之，得基础解系为 T? ?x2? 向量为 A 的属于特征值 3 的全部特征 其中 k 是不为零的任意常数 . ?111?100?1 取 P?1?20?，由 020?有 ?1?11?003? ?100?1 A?P?020?P ?003? T?2?2 即 2 为对称矩阵 . 线性代数习题及参考答案 3 单项选择题 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 19 1. 答案： B 2. 设 mn 矩阵 A 的秩为 m，则 _。 C、对于任一 b，矩阵 A b的秩都为 m 3. 设 1,2,3 是方程组 的基础解系，则下列向量组中也可作为方程组 的基础解系的是 _。 D、1+2,1 3 ?100?210?001?,则用 P 左乘 A，相当于将 、第 1 行的 4. 设 A 为 3 阶矩阵 ,P =? 2 倍加到第 2 行 ?x+x?05. 齐次线性方程组 ?23的基础解系所含解向量的个数为 _。 B、 2 6. 设 4 阶矩阵 A 的秩为 3， ?1， ?2为非齐次线性方程组 b 的两个不同的解， c 为任意常数，则该方程组的通解为 _。 A、 ?1?c?1?2 2 7. 已知 4 阶方阵 A 的行列式 ，则 A 中 _。 C、必有一列向量是其余列向量的线性组合 8. n 元齐次线性方程组 存在非零解的充要条件是 _。 C、 A 的列线性相关 9. n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值是 A 与对角矩精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 19 阵相似的 _。 B、充分非必要条件 判断题 1. 如果 两向量 x,y 满足|x+y|2=|x|2+|y|2，则 x 与 y 是正交的。 答案：正确 2. 设 1,2,3 是齐次线性方程组 的一个基础解系，又 1=1+2+3,2=2 3=2+3 ，则 1,2,3 也也是 的一个基础解系。 答案：正确 3. 若 f=定，则实数 t 的取值范围是 t 4。 答案：正确 4. 向量组 1=,2=,3= 线性无关。 答案：错误 5. 设 1=1,2=1+2,m=1+2+m ，则向量组 1,m 与向量组 1,m 等价。答案：正确 6. 向量空间 V 的任何两个基所含向量个数都相同。 答案：正确 7. 若 . 答案：正确 8. 若可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则方阵 有一个特征值为 答案：正确 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 19 填空题 1. 设 A 为 3 阶矩阵，且 |A|=6，若 A 的一个特征值为2，则 A*必有一个特征值为 _。答案： 3 222x?x?3二次型 f=的正惯性指数为_。答案： 2 计算题 已知 ? 答案： ?T?3? ? ?T ? ? ? ?1 ?1?11?n?1?3?32?2?3?23?3?11?23?2?13?31?2