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Chapter 5(1)Chapter 5(1) 曲面与曲线曲面与曲线 教学要求： 1. 理解曲面方程的概念; 2. 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程; 3. 了解空间曲线的参数方程和一般方程; 4. 了解空间曲线在坐标平面上的投影, 并会求其方程. 1. 曲面方程的定义 关于曲面讨论两个方面的问题: (1) 已知曲面上点的轨迹, 求方程; (2) 已知方程, 研究该方程表示的曲面的形状. 2. 球面方程 Solution. 根据题意有 所求方程为 讨论: (2) 球心在原点时方程为 (1) 球面方程的一般形式为 Solution. 经配方可知, 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 播放 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线. 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 得方程 ex2. 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程 旋转双曲面 旋转椭球面 旋转抛物面 反之, Solution. 圆锥面方程为 播放 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 定义 4.柱面 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线， 动直线 叫柱 面的母线. 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征： (柱面方程为缺项的方程) 表母线平行于 z 轴的柱面; 表母线平行于 x 轴的柱面; 表母线平行于 y 轴的柱面. 注意： (1)准线C并不唯一, 只是为了方便通常选择坐标面 上的曲线; (2) 母线平行于坐标轴的柱面是我们研究的. 实 例 椭圆柱面 / 轴 双曲柱面 / 轴 抛物柱面 / 轴 ex4. 指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？ Solution. 平面解析几何中空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 1. 一般方程 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： Solution. 表示圆柱面 ， 表示平面， 交线为椭圆. Solution. 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 2. 投影方程 设空间曲线C的一般方程： 定义1. 以曲线C为准线, 母线平行于z轴的柱面 叫做关于xoy面的投影柱面. 定义2. 投影柱面与xoy面的交线叫做C在xoy面上的 投影曲线, 即投影. 由C消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线,面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 截线方程为Solution. 如图, Solution. （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 （2）因为曲线在平面 上， 所以在 yoz 面上的投影为线段. (3) 同理, 在 xoz 面上的投影也为线段. ex10. Solution.半球面和锥面的交线为 一个圆, Solution. 在xoy面上, 在yoz面上, 3. 参数方程 空间曲线的参数方程 如何得到曲线的参数方程？ (1)由已知曲线的一般方程, 引入适当参数得到相应 的参数方程. (2) 视曲线为动点运动的轨迹, 适当选取参数t使得动点 坐标(x,y,z)分别用关于t的函数来表示. Solution. 曲线的参数方程不唯一！ 动点从A点出 发，经过t时间，运动