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分块矩阵 一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子 矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵 。 1、矩阵分块的方法 例如 即 说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。 2、矩阵分块一般形式 矩阵A = ( aij )mn，在行方向分s块，列方向分t块 ，称A为st分块矩阵，第k行l列子块Akl是mknl阶矩 阵。 各子块行数 各子块列数 说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依 据问题需要，子块可以作元素运算。 一、一、分块矩阵的运算规则 设A、B是mn阶矩阵，采用相同的分块法分块将 A、B分块如下： 1、分块加法 注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。 2、分块数乘 设A是mn阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义 3、分块乘法 设A是ml阶矩阵， B是ln阶矩阵， 即A的列数 = B 的行数 即A的列分块法 = B 的行分块法 分块A = ( Auv )sr B = ( Bvw )rt 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是st阶分块矩阵，满足 注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块： （1）作为分块阵元素参与运算 （2）作为矩阵也要满足乘法条件 例1. 用分块矩阵法求AB 解： 则 又 于是 说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程 更简单，计算量更少。 4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是sr 阶分块矩阵 例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数 合计32次 说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。 分外层、内层双重转置 特别地，对于列分块矩阵： 二、一些特殊的分块矩阵 1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆 例2. 求下列2阶分块逆矩阵 其中A11， A22可逆矩阵 其中B12， B21可逆矩阵 解(1) ：设A的分块逆矩阵为 得到4个矩阵方程组 求解该方程组，得 (2) （解略，请仿(1)方法自行求解） 设A1, A2, , As均为方阵（不一定同阶），则称下 面的A为分块对角矩阵 2. 分块对角矩阵 如果矩阵A1, A2, , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为 说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩 阵形式类似。 3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块 设矩阵A、B分别是sn 和nt 阶矩阵，A不分块， B按列分块，即 则 例3. 求解下列矩阵方程 说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组 Ax1 = b1, Ax2 = b2, , Axt = bt 其中B = ( b1, b2, , bt )， X = ( x1, x2, , xt ) 解：对增广矩阵( A, B )进行初等行变换 r2+r1 r3-2r1 -r2 r1-2r2 r3+r2 于是方程组Ax1 = b1有解 当且仅当= 0 时，Ax2 = b2有解 所以矩阵方程AX = B 在参数= 0 时，有解： 说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵 方程AX = B 的 t 个线性方程组同时进行求解。 4. 矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块 （1）设矩阵A是sn 矩阵，X 是n1矩阵： 将A按列分块，即 则 我们将表达式 称为向量 的线性组合， 称为组合系数。 说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式 说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则 同样记i 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则i A表示A的第i个行向量。 （2）设矩阵A是sn 矩阵，B 是nt 矩阵，将A按 列分块，则 即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。 例4. 设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若 求矩阵C，使得AB = BC。 （见教材P69例2.15） 2.4 矩阵的秩 一. 秩的概念 二. 初等变换和矩阵的秩 初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个 阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入 矩阵的秩概念。 三. 矩阵的等价标准形 一. 秩的概念 在Amn中，任取k行、k列(km, kn)，位于这些行 列交叉处的k2个元素，按原有的位置次序所构成的k 阶行列式，称为A的k阶子式。 1. k阶子式 说明(1). A共有 个k 阶子式。 例如 2阶非零子式 3阶零子式 2. 秩的定义 矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩， 记为r(A) = r或rank(A) = r 。 说明(1). 0 r( Amn ) min m, n 说明(2). 规定零矩阵的秩为0，即 r(O ) = 0 说明(3). 对于n阶矩阵A，有 A为满秩矩阵 更一般地， 如果mn 阶矩阵A满足 r(A) = m， A为行满秩矩阵 r(A) = n， A为列满秩矩阵 例1. 解：在A中， 例2. 见教材P71例2.18 例3 解 注. 阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。 3. 矩阵秩的性