gs1,。3函数的极限与连续.ppt

前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函 数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自 然数, 且n趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有 两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的. 第一节 函数的极限 一、x时时, f(x)的极限 定义1. 设f (x)在(M, +) 内有定义, 也可记为 f (x)a, (x+) 若 0, X 0, 当xX (或x0, X 0, 当xX (或x0, 正整数N, 使得当nN 时, 都 有|xna|0”.但是, 数列极 限中n是离散变化的, 而这里x是连续 变化的. 例1. 证明 其中 00, X 0, 当xX ( 或x0, X 0, 当|x|X时, 相应的函 数值满足 | f (x) a | 0), 都存在X 0. 当 x X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 如图 a x y o a+ a X y = f (x) 直观地, 这个式子表示当 x 0), 存在X 0. 当 x 0), 存在X 0. 当 | x | X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a 之间. 如图 a x y o a+ a X X 比如, 由 y = arctg x 的图象 x y o y = arctg x 二、当x x0时时, f (x)的极限 若当x x0时, 对应的函数值f (x)a, 则称 a是f (x)当x x0时的极限, f (x)a可用| f (x) a |0, 0, 当00”, 将“ nN” 换成 “ 00, 正数数N, 使得 当nN 时, 都有|xna|0, 0, 当0N” 表示了n充分大这一意思. 注2. 定义中“ 00, 0, 当00, 要使|f (x)2|0, 0, 当0 0, | x31 | = | (x1)(x2+x+1) | = | x1 | | x2+x+1 | 因x1, 故不妨设 0 0, 要使|sinx sinx0|0, 0, 当0 0 要使 | lnxlnx0 | 或,x0e- 0, 0. 当00, 0, 当00, 0. 当00时, 解： 由于当x0时, 对应的函数值f (x) =x. 由于当x0时, 对应的函数值f (x) = sinx. f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数 的分段点. 对一个分段函数来说，其分段点 处的极限要分左、右极限讨论. 例9. 设f (x) = x ,当x0时, cos x, 当x0时, 左、右极限存在, 但不相等, 解： 以后, 常用下列记号表示函数的左, 右极限 看图 x0+ cosx x y x0 1 y y 定理2. 定理3. 三、函数极限性 质质 推论 1: 推论2. (1) 若存在0, 使当0 0, 证: (1) 由于当 0 0，使得f (x)在(, X) (X, +) 内有界,则称 f (x)是x时的有界量. 比如y=x2在定义域(, +) 内是无界的, 但在 x=0的某个小邻域内是有界的. 因此, y=x2是x0时的有界量. y=x2 0x y M 0 y x 比如: y=sinx在( ,+)内有界，是x时的有界量. 但 定理4. 定理4的逆命题不成立. y x 1 1 y=sinx 0 则称f (x)是该极限过程中 的一个无穷小量(省去xxo , x的极 限符号“ lim” 表示任一极限过程). 定义1. 若lim f (x)=0, 第二节 无穷大量、无穷小量 一、无穷穷小 量 注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极 限过程谈无穷小量, 小量, 但 如sinx是x0时的无穷 例： 注2 ： 注3：0是任何极限过程的无穷小量. 由于limC = C(常数), 所以, 除0外 的任何常数不是无穷小量. 是该极限过程中的无穷小量. A为常数. 0, 0, 当00(无论多么大), 记作： 0(或X0), 当0X)时，有|f (x)|M, 则称f (x)是x x0(或x )时的无穷大量. 二、无穷穷大 量 若以“ f (x)M ”代替定义中的 “|f (x)|M ”, 就得到正无穷大量的定义. 若以“ f (x)M ”,就得到负无穷大量 的定义. 分别记作： 0, 0(或X0), 当0X)时 ，有|f (x)|M, 0 1 -1 1x x y y x1+ x1 例1： 证： 例2: 试从函数图形判断下列极限. 解： (1) x y 0 x y y = tgx x y (2) x o y xx y y x+x 注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” , 注2：若lim f (x)=, 将“ X” 换成“ N” , 将“ x” 换成 就得到数列xn为无穷大量定义.“n”, 则表示在该极限过程 中f (x)的极限不存在. 0, X0, 当|x|X 时, 有|f (x)|M, 注3：不能脱离极限过程谈无穷大量. 注4：无穷大量一定是无界量, 任何常量都不是无穷大量. 但无界量不一定是无穷大量. 说明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|M即可. 例3： 解： 例4： 定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则 反之, 若f (x)为无穷小量 三、无穷穷小与无穷穷大量的关 系 证：只证两个无穷小量的情形. 设当xx0时, (要证(x)(x)为无穷小量), 0, (x )0, (x )0, 四、无穷穷小量的运算定 理 定理3：有限个无穷小量的代数和为无穷小量. 故(x) (x)是无穷小量. 注：定理3中“有限个”不能丢，无限个无穷小 量的和不一定是无穷小量, n个 比如： 定理4：若(x)是某极限过程中的无穷小量, f (x) 是该过程的有界量, 则f (x)(x)为该过程 的无穷小量.即, 有界量与无穷小量之积 为无穷小量. 证： 推论：设(x), (x)是某极限过程中的无穷小量, C 为常数. 则(x)(x), C(x)都是无穷小量. 例2： 解： 1. ， 都不一定是无穷大量，也不一定是 无穷小量. 2. 0, (有界量)不一定是无穷大量，也不一 定是无穷小量(其中0表无穷小量). 3. 无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量. 五、无穷穷大量的运算性 质质 4. (+)+(+) = +, ()+()= . 5. =, (有界量) = ， 常量 = . 6. C = (其中C等非0常量). 定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则 (1) limf (x) g(x) =limf (x)limg(x) = AB (2) limf (x) g(x) = limf (x) limg(x) = A B (3) 第三节 极限运算法则 一、极限四则则运算法 则则 证: (2) 因limf (x)=A, limg(x)=B, 均存在, 则f (x)=A+(x), g(x)=B+(x). 从而 f (x) g(x)= A+(x)B+(x) = AB+A(x)+ B(x)+(x)(x) 得lim f (x) g(x) = AB 同理可证(1), (3). 推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则 (1) limCf (x) = C limf (x) (2) limf (x)n = limf (x)n 例1. 解: 由于= 26 = 4 = 2 23 + 22 4 =16, 例2. 解: 由定理1及其推论, 有 例3. 更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数 . 且f (x)在点 x0处有定义. 则 比如: 例4. 解: 将x=1代入分母, 分母为0, 不能用例3 或定理1(3)的方法求极限. 想办法约去使分子分母都为零的因子x1. 有 例5. 解: 将x=0代入. 分子, 分母都为0. 不能用定理 1(3). 想法约去零因子x. 为此, 有理化. 例6. 解: 这是有理函数. 当x时的极限问题. 分子, 分母的极限都为. 不存在. 不能用定理1(3). 同除以分母的最高次幂x2. 将本题改为 x3 = 0 x3 = 改为 例7. 则 总结: 设f (x), g(x)为多项式. = 例8. 解: 这是两个无穷大量之差的极限问题. 无穷大量的和, 差不一定是无穷大量. 这类问题, 称为“ ”型. 通分 例9. 解: 这是两无穷大量之差的问题. 即“ ” 型. 对无理函数, 可考虑有理化. 解: 这是一分段函数. 分段点x=0. 在分段点处极限要分左, 右极限讨论. 分段函数 =2 = b 故, 当b=2时, f (0+0) = f (00)= 2, 例10. 何值时, 问常数b为 例11. 证: 先用“单调有界数列必有极限” 证明 (1)单调性. = xn1 故xn单调递增. 0 n1个a n个a (2)有界性. 故 xn有界. 00, 由保号性定理, A0 从而 即 求复合函数的极限时, 常可用“ 换元法” 简化运算. 二、复合函数的极限 例12. 解: 直观地看.当x1时, lnx0, 而当lnx0时, cos(lnx)cos0=1.或者, 令u=lnx, 当x1时, u0,代入 这种方法称为换元法. 使用时, 将原式中 所有x换写成u的表达式. 极限过程xx0换成 相应的u的极限过程. 定理2. 设y =f (x)由y =f (u), u=(x)复合而成. 且在x0的某去心邻域 (x0)内, (x) u0 证 (略). 例13. 解: (1) 令u=sinx. 代入. (2) 也可直接利用例3后介绍的结论, 有 例14. 解:代入, x0+ 定理1. 设在点x0的某去邻域 (x0, 1)内, 有 F(x)f (x)G(x), 则 第四节 函数极限存在定理 一、夹夹逼定 理 证: 0. 当00. 故 A 0, 当nN时，有|f (xn)a|0. 必存在自然数n, 使得nxn+1. 由幂函数, 指数函数的单调性. 有 = e 1= e 令x+, 由于xn+1, 有n+. 且 = e 1= e (2)考虑x时的情形. 令u = x, 当x时, 有u+. (令u1=t ,当u+时, t+.) = e 1= e 综合(1),(2), 得 综合这两公式, 有 特点: (1+无穷小)的无穷大次方. 该无穷小 与无穷大恰好为倒数. 则其极限为e. 此类极限问题中常使用指数公式 (i) (ii) 例7. 解:变形. 例8. 解: 例9. 解: 例10. 解: = lne = 1 例11. 解: