冲击响应和阶跃响应.ppt

5.3 冲击响应和阶跃响应 1. 冲击响应 定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信 号激励下产生的零状态响应。即: 因为只有在t=0时,（t）才对电路系统作用 ，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能 元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t0 时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输 入响应。即： 2. h(t)求法 例:已知电路如图，iL(0-)=0 ,求iL(t) 解：（1）建立电路方程： (1)直接法: （等效初始条件法） (2) 将其转换为等效零输入响应： （3）求解：三要素法得： (2)比较系数法 因为由电路系统的（1）问题转为（2）问题，电路系统的 解应具有相同的函数形式，一般 （1） 对于nm时，若电路系统方程的特征根互异，则由此 得冲击响应为 （2）n=m时，若特征根互异： （3）n0，U(t) 0. 系统的阶跃响 应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解和 非齐次特解。定义式可得： 强迫响应： (2)求阶跃响应的常用方法 （1）由h(t) g(t) 方程（1）中左端最高阶为 g(n)(t) ，右端最高阶为 U(m)(t) 即使m=n，g(t)中也不会包含(t), 故在nm时，若（ 1）式特征根互异，则自由响应： 故 由此可采用求冲击响应类似的方法，求得 g(t) (1)线性性（即迭加性和均匀性） 定理1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的： a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响 应，零状态响应。 b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于 各激励信号呈线性。 c.零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起 始状态呈线性。 3. LTI电路系统的基本性质 注意： （1）当系统同时存在n个激励时，系统的完全响应对于某 个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性 关系。 （2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视 为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致 的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。 （3）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激 励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输 入线性，零状态线性。 我们对第二条进行证明 设一阶电路方程为 （1）叠加性 若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和 y2(t)，它们应当满足方程（1） （1） （2） （3） 将上两式相加得： （4） 如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则 相应的零状态响应为y(t)，则必然有 根据微分方程的唯一性充分条件，式（4）和（5）中，初始 状态和激励相同，而1/ 仅决定于电路结构和元件参数， 也应是相同的。所以其解也必然相同。 （5） 这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。 （2）若在上述同一电路的相同位置，t=0时接入激励x1(t) 是实数，相应的零状态响应为y3(t)，则： （6） 而如果用 同时乘方程（2）的两边，则得： （7） 于是：y(t)=y1(t)+y2(t) 根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（6）（7）两式得 ： 这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性 。 由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路 系统的零状态响应对各激励信号呈线性。 同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。 这个线性系统的性质具有非常重要的意义。 (2).延时不变性： （定常特性） 定理2： 若线性时不变系统，输入为f(t)时，引起的响应为y(t),则 输入为 f(t-) 时，引起的响应为 y(t-) 。这就是说，响应的波 形与输入的时间无关，仅是起点改变。即若f(t) yzs(t)，则 (3).微分特性： 定理3： 若线性时不变系统在激励f(t)作用下，产生零状态响应为 yzs(t)，则当激励为 f (t) 时，其响应为y(t) f(t) 零状态yzs(t) 证明：因为 f(t) y(t) 根据延时不变性：f(tt) y(t t) 又因为系统具有叠加性和均匀性： 根据导数的定义有： 证毕。 推论： （1）这个特性可以推广至高阶导数和积分。 （2）对几个典型的信号有： (4).因果特性： a.因果系统：如果tt0时，系统的激励信号为0，相应的输出 响应在tt0时也等于0，则这样的系统称为因果系统。 b.因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励 引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激 励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。 一切物理可实现系统都是因果系统，都具有因果特性。 由常系数微分方程描述的系统都是因果系统，都满足 因果性，因此，因果系统的充分必要条件是： h(t)=0 (t0) g(t)=0 (t0) 例：某LTIS，在相同的初始状态下，输入为f(t)时，响应 为：y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t) ，输入为2f(t)时，响应为： y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t) 试求：（1）初态加大一