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工程数学(线性代数)练习二（第五章，第六章）一、单选题1.设A为n（n2）阶矩阵，且A2=E，则必有（ ）A.A的行列式等于1B.A的逆矩阵等于EC.A的秩等于nD.A的特征值均为12.设矩阵A=，则A的特征值为（ ）A.1，1，0B.-1，1，1C.1，1，1D.1，-1，-13.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A4.设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于（）A.B.C.2D.45.已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则A2=（ ）A.AB.DC.ED.-E6.若A与B相似，则( )A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-E=B-ED.|A|=|B|7.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（）A.B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B8.与矩阵A=相似的是（）A.B.C.D.9. 设三阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP（ ）。A. C.C. D.10.设A=，则二次型f (x1，x2)=xTAx是( )A.正定B负定C.半正定D.不定11.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩为（）A.1B.2C.3D.412.设有二次型则（）A.正定B.负定C.不定D.半正定二、填空题1.矩阵A=的全部特征向量是_.2.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A| ，A1的特征值为_, |A*|=_.3.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.则|A+E|=_.4.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值_.5.设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=3，3=0，则秩(A)=_.6.已知=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为_.7.矩阵A=所对应的二次型是_.8.二次型f(x1,x2,x3)=的矩阵为_.9.二次型f()=的矩阵为 10.已知二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)+ (k-1)+ (k-2)正定，则数k的取值范围为_.三、计算题1.求矩阵的特征值和特征向量.2.设A与B相似， 求a，b； 求一个可逆矩阵C，使C1ACB.3.试求三阶正交矩阵Q，使正交变换x=Qy能将二次型化成标准形.4.设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32 求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换； 用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.5.问取何值时，二次型为正定二次型？四、证明题1.设方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.2.设A为n阶方阵，为A的对应于特征值的特征向量，为AT的对应于特征值的特征向量，且 ，证明与正交.3.设A是n阶正交矩阵，且|A|=1，证明: 1是
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