陕西理工学院课程设计-离散系统时域分析实用程序设计论.doc

陕西理工学院课程设计 离散系统时域分析实用程序设计论文夏庚悦（陕西理工学院物电学院电子信息科学与技术专业1102班级，陕西 汉中 723000）指导教师:龙姝明离散系统时域分析实用程序摘要：研究离散系统时域分析，给出有差分方程描述的离散系统和由采样数据描述的输入信号，写出系统的处置条件，用时域迭代的方法求离散系统的响应信号，并用mathematica软件编程实现这一过程。研究发现，对于系统的输入信号是由一组无明显规律的实数，并且数据量较大时，应用时域迭代编程实现更为有效更为快捷。关键词：差分方程，离散系统时域分析，mathematica编程目 录引言11、 离散系统时域分析理论基础1 1.1 零输入响应与零状态响应1 1.2单位序列响应 2 1.3用Z变换的方法求h(k)22、mathematica软件编程路33、离散系统时域分析实例34、结语55,、参考文献5引言随着数字技术和计算机技术的飞速发展，鉴于离散系统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面，比连续系统具有更大的优越性，作为其他应用技术的铺垫，因此原来对连续信号和系统的研究问题，越来越多地转化为对离散信号和系统的处理。通信和计算机设备等数字化的高科技产品渗透于人们的生活、学习、工作等等方面，这样，对于离散系统的分析、研究、改进成为了必不可少的课题。离散系统的响应问题是求解和分析离散系统的基础理论问题。是我们深入分析线性时不变离散系统的基础。离散系统的求解方法有时域法、Z域解法、频域解法和本文章所研究的迭代法。本文分析求解的离散系统的输入不是有规律的序列，而是一组无明显规律的实数集合，并且数据量N较大，利用时域迭代的方法分析不借助任何变换而直接求解，直观准确。根据差分方程，用时域迭代的方法解出零输入响应yzi(k)，找出系统的单位序列响应h(k)，并与输入信号做卷积得到零状态响应。这种方法是用逐次带入来求解的，方法概念清楚，简单，对于低阶（一阶或者二阶）的系统手工操作就可以快速解出，但当数据量N大于3以上时，计算量比较大。利用手工操作就比较麻烦，在这种情况下可以利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，而使用mathematica软件编程实现这一过程，这种方法则更加方便快捷。作为理论上的研究，此课题虽然简单，但其在基础上的意义和用途确实不错的，为进一步深入研究奠定基础。例如在通信、计算机、自动化等工程领域方面都离不开对各类离散系统的分析处理，其中必定涉及输入信号由大量无规律数据描述的实例。在未来的“数字化”工业发展进程中，此课题的研究方法将有更加广泛的深入的应用。1 离散系统时域分析理论基础1.1 零输入响应与零状态响应设LTI系统的激励为响应为描述系统的后向差分方程的一般形式可写为 (1.1a)式中aj 、aj (j=0,1,.,n-1)、bi(i=0,1,.,m)都是常数，设f(k)是在当k=0时刻加于系统。上式可简写为 (1.1b)(1.1) 式描述的离散系统的完全响应可以分解为零输入响应yzi(k)和零状态响应y zs(k)。零输入响应yzi(k)由方程 (1.2)和初值条件决定。为解yzi(k)要先解(1.2)式对应的一元n次代数方程（手工根本没法完成），又称为(1.2)式的特征方程 (1.3)设(1.3)式有n个单根，则系统零输入响应yzi(k)为 (1.4)式中各系数Cj由初始条件确定。将初始条件带入方程(1.4)，解n元一次代数方程组可以得到Cj，最终求得yzi(k),而这手工是无法完成的。零状态响应yzs(k)由原方程和零初始条件确定，即方程的完全响应是零状态响应与零输入响应的叠加，即 (1.5)1.2 单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应），用h(k)表示。令f(k)=(k)，则yzs(k)=h(k)。根据公式(1.1)，对于n阶系统，可以得到h(k)满足 (1.6)令只有(k)作用时，系统的单位序列响应是h1(k)，满足方程 (1.7)由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。这样就可以把求单位序列响应的问题转化为求方程齐次解的问题。则方程(1.7)可写成齐次方程 (1.8)根据LTI系统的线性和时不变性，可知 (1.9)从因果系统的初始状态h(k)=0,k=-1,-2,.,-N，带入方程(1.7)，递推出最高序数k=M的N个初始条件，则可得到方程(1.8)的解。然后由初始条件中补齐h(0)h(m-1)这M个值，从而解的单位冲击响应h(k)。1.3 用Z变换的方法解h(k)如前所述，描述n阶LTI系统的后向差分方程为 (1.10)设f(k)是在当k=0时刻加于系统，其零状态响应的像函数为YZS(Z)，由于yzs(k)=0,n0和f(k)=0,n0，对方程(1.11)两边分别进行Z变换，得 (1.11)式中F(Z)为激励f(k)的像函数。系统的零状态响应像函数YZS(Z)和激励像函数F(Z)之比称为系统函数，用H(Z)表示，则由式(1.11)得 (1.12)则由(1.12)式，零状态响应的像函数可写为 (1.13)单位序列响应h(k)是输入为(k)时系统的零状态响应，由于，故由式知，单位序列响应h(k)与系统函数H(Z)的关系是 (1.14)即系统的单位序列响应与系统函数是一对Z变换对。对(1.13)式两端取逆Z变换，考虑到Z变换的卷积定理，于是有 (1.15)由上述可知，对于解零状态响应，用输入信号f(k)与单位序列响应的卷积来计算，方便快捷。而单位序列响应的求解，用Z变换的方法更简便。可见k域卷积定理将离散系统的时域分析与Z域分析紧密相连。2 mathematica软件编程思路时域分析求解离散系统时，不借助任何变换而直接求解，它概念清晰，方法简单轻便，但是，当阶数N较大时，手工操作根本没法完成。这时，只能借助计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，使用mathematica软件编程实现这一过程。本课题主要研究的就是在软件编程环境下，实现对离散系统的分析研究。差分方程迭代求解：线性时不变离散系统可以用如下所示的线性常系数差分方程来描述其中y(k)是系统输出序列，f(k)为输入序列。其完全解包括零输入响应和零状态响应两部分。零输入响应：输入序列f(k)为零时，由系统的初始状态引起的响应，系统的等效为下式。 零状态响应：系统的初始状态y(-1)=y(-2)=y(-N)=0,由输入f(k)产生的响应。系统的全响应为零输入响应与零状态响应的和。利用系统的初始状态y(-1)，y(-2)，y(-N)，通过迭代可以分别求出系统有限长度的零输入响应，零状态响应和全响应。3离散系统时域分析实用实例本课题研究的是一组数据量N较大，无明显规律的实数集合，不能直接输入一组庞大的数据，研究中，先选定一差分方程，运行得到一组数据，手动添加到程序中，继续进行。 x=yk+5/6yk-1+1/6yk-2 Clearp,y,X,XX,f,h,H,Y,k; p=Lengthx f=Tablek,xk+1,k,0,Lengthx-1; ListPlotf,Filling1Axis,Blue,AxesLabelk,fk y-2=0; y-1=1; y0=-(5/6)y-1-1/6 y-2 y1=-(5/6)y0-1/6 y-1 Fork=2,kp,k+, yk=N-(5/6)yk-1-1/6 yk-2 data=Tablek,yk,k,-2,p-1; ListPlotdata,Filling1Axis,Blue,AxesLabelk,yzik,PlotRange-2,80,All Clearh,k; eq=RSolvehk+5/6 hk-1+1/6 hk-2=2DiscreteDeltak,h-2=0,h-1=0,hk,k; hk_=hk/.Parteq,1 hh=Tablehk,k,0,p-1/N/Chop; X=Fourierx,FourierParameters1,-1; H=Fourierhh,FourierParameters1,-1; Y=H X; yzs=FourierY,FourierParameters-1,1/Re; datayzs=Tablek,yzsk+1,k,0,p-1; ListPlotdatayzs,Filling1Axis,Blue,AxesLabelk,yzsk,PlotRange-2,p-1,All系统的零输入响应和零状态响应运行图如下： 零输入响应yzi(k)图1 零输入响应随时间的变化杆状图零状态响应yzs(k)图2 零状态响应随时间的变化杆状图4 结语应用时域分析，不借助任何变换而直接求解，它概念清晰，但在分析复杂高阶系统时，计算工作量较大。而对于有大量无规律数据给出输入信号的离散系统分析处理，结合计算机技术，时域迭代分析方法更为方便简洁，而且其分析结果更方便应用。通过本次课程设计的深入了解，使我对离散系统时域分析有了更深的认识，对mathematica软件编程也有了系统的认识和学习；更加熟练的运用mathematica这个软件，而且老师对我课设的严格要求，使我对论文内容有了更加深刻的认