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第六章 常微分方程的数值解 常见的近似数值求解方法有欧拉 折线法、阿当姆斯法、龙格-库塔 法与吉尔法。 不受方程类型的限制，可以求任 何形状常微分方程的特解，但求 出的解只能是数值的解函数。 一、解法步骤： 将高阶方程转化为一阶方程组。 （两种情况） 建立相应的函数文件。 调用求解函数。 t,z=odeij(dzdtk,H,z0,tol) 刚性：设有一阶常系数线性微分方程组y=Ay+f ，如果它的Jacobian矩阵的特征值相差十分 悬殊。 odeij问题类型精度适用对象 ode45非刚性中等多数情况下可优先选用，但不能用来 解刚性问题 ode23非刚性较低可用来解中等刚性问题，或误差允许 范围较宽的问题 ode113非刚性低到高不能解刚性问题，当误差容限要求严 格时效果较ode45好 ode15s刚性低到高可用于解刚性问题，当采用ode45失败 或效果很差时，可考虑使用 ode23s刚性低可用于解刚性问题，当误差容限较宽 时效果比ode15s好 ode23t适度刚性低可用于解刚性问题，但要求无数值衰 减 ode23tb刚性低可用于解刚性问题，当误差容限较宽 时效果比ode15s好 二、例题 例1 在区间 H=0.1,30上满足初值条件x=0.1时， 的特解 （1）转化原方程为一阶方程组。 （2）建立描述上面微分方程组的函数文件，并设文件名为 dzdt01.m。 function dz=f(t,z) dz(1)=z(2); dz(2)=z(3); dz(3)=(1/t)*z(3)-(2/t2)*z(2)+(2/t3)*z(1)+10*t3*sin(t); dz=dz(1);dz(2);dz(3) （3）调用求解。 H=0.1,30;z0=0;0;0; t,z=ode45(dzdt01,H,z0); plot(t,z(:,1),m-) plot(t,z(:,1),m-) 例2 H=0,50 （1）转化方程。 （2）建立文件，设文件名为dzdt02.m。 function dz=f(t,z) c=1; dz(1)=z(2); dz(2)=c*(1-z(1)2)*z(2)-z(1); dz=dz(1);dz(2); （3）调用求解。 H=0,50;z0=2;1; t,z=ode45(dzdt02,H,z0); plot(t,z(:,1),m-,t,z(:,2),g-.) 例3 H=0,100 （1）转化方程。 （2）建立文件，设文件名为dzdt03.m。 function dz=f(t,z) a=-0.2; dz(1)=z(2); dz(2)=a*z(2)-sin(t); dz=dz(1);dz(2); （3）调用求解。 H=0,100;z0=0;2; t,z=ode45(dzdt03,H,z0); plot(z(:,1),z(:,2),m-) 例4 H=-30，30 （1）转化方程。 （2）建立文件，设文件名为dzdt04.m。 function dz=f(t,z) dz(1)=z(2); dz(2)=-2*t*z(4); dz(3)=z(4); dz(4)=2*t*z(2); dz=dz(1);dz(2);dz(3);dz(4); （3）调用求解。 H=-30,30;z0=0;1;0;0; t,z=ode45(dzdt04,H,z0); plot(z(:,1),z(:,3),m-) 例5 （1）转化方程。 （2）建立文件，设文件名为dzdt05.m。 function dz=f(t,z) a=8/3;b=10;c=28; dz(1)=-a*z(1)+z(2)*z(3); dz(2)=-b*(z(2)-z(3); dz(3)=c*z(2)-z(3)-z(1)*z(2); dz=dz(1);dz(2);dz(3); （3）调用求