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第四章 微积分 本章考虑用Maple系统求解极限、导数、微分、积分 、级数展开、级数求和等问题。 4.5 导数的应用 1、Rolle定理 f:=x-x5-2*x2+x; diff(f(x),x); iscont(f(x),x=01,closed); evalb(f(0)=f(1); fsolve(f(x)=0,x=01); plot(f(x),x=01); 例1. 证明方程 在(0,1)内至少有一个根. 2、函数的单调性 例2. 确定 在(-,+ )内的单调性. f:=x-exp(x)-x-1; f1:=diff(f(x),x); fsolve(f1=0,x); assume(x0); is(f10); assume(x2*x3-6*x2-18*x+7; f1:=diff(f(x),x); sols:= fsolve(f1=0,x); assume(x0); assume(x-1,x3);is(f12*x3-6*x2-18*x+7; f1:=diff(f(x),x); f2:=diff(f1,x); sols:=fsolve(f1=0,x); subs(x=sols1,f2); subs(x=sols2,f2); 例5. 求函数 在区间-5,1上的最大值和最小值. restart: f:=x+sqrt(1-x); eq:=diff(f,x); sols:=solve(eq,x); evalf(subs(x=sols1,f); evalf(subs(x=-5,f); evalf(subs(x=1,f); 例6. 判断下列曲线的凹凸性 restart: f:=x+sqrt(1-x); diff(f,x$2); g:=x3; g1:=diff(g,x$2); assume(x0);is(g10); assume(x0); assume(x0,x2/3); is(f10); subs(x=0,f); subs(x=2/3,f); plot(f,x=-1/21); 4.6不定积分 调用形式: int(表达式,积分变量); 1、不定积分的计算 例: int(x2-2*x+3,x); int(exp(x+1),x); 不定积分表 Int(k,x)=int(k,x); Int(xmu,x)=int(xmu,x); Int(1/x,x)=int(1/x,x); Int(1/sqrt(1-x2),x)=int(1/sqrt(1-x2),x); Int(cos(x),x)=int(cos(x),x); Int(sin(x),x)=int(sin(x),x); Int(1/cos(x)2,x)=int(1/cos(x)2,x); Int(1/sin(x)2,x)=int(1/sin(x)2,x); Int(sec(x)*tan(x),x)=int(sec(x)*tan(x),x); Int(csc(x)*cot(x),x)=int(csc(x)*cot(x),x); Int(ax,x)=int(ax,x); 例1. 计算下列不定积分 Int(1/(x*x(1/3),x)=int(1/(x*x(1/3),x); Int(1+x+x2)/(x*(1+x2),x)=int(1+x+x2)/(x*(1+x2),x); Int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x)=int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x); Int(1/(3+sin(x)2),x)=int(1/(3+sin(x)2),x); 可利用 combine对表达式进行化简 Int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x) =int(combine(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x); (1) 换元积分法 2、积分方法 with(student): ut:=Int(cos(x)+1)3*sin(x),x); changevar(cos(x)+1)=u,ut); ut1:=value(%); subs(u=(cos(x)+1),ut1); restart:with(student): assume(a0); assume(t-Pi/2,texp(-x2); s:=leftsum(f(x),x=01,100); evalf(%); evalf(int(exp(-x2),x=01); 图示: with(plots): a:=array(12,12): a1,1:=leftbox(f(x),x=01,5): a1,2:=leftbox(f(x),x=01,10): a2,1:=leftbox(f(x),x=01,20): a2,2:=leftbox(f(x),x=01,100): s:=leftsum(f(x),x=01,100); display(a); (2) 梯形法 restart: n:=100; f:=x-exp(-x2); a:=0:b:=1:s:=0: s1:=1/2*(f(a)+f(b): for k from 1 to 99 do x:=k/n: s:=s+f(x): od; s:=evalf(b-a)/n*(s+s1); (3) 抛物线法 restart: n:=100; f:=x-exp(-x2); a:=0:b:=1:s:=0: s1:=1/2*(f(a)+f(b): for k from 1 to n/2 do x1:=(2*k-1)/n: x2:=2*k/n; s:=s+2*f(x2)+4*f(x1); od: s:=s-2*f(b): s:=evalf(1/(3*n)*(s+s1); (1) 积分区间为无穷区间的广义积分 3、广义积分 Int(1/(1+x2),x=-infinityinfinity) =int(1/(1+x2),x=-infinityinfinity); Int(x*exp(-p*x),x=0infinity) =int(x*exp(-p*x),x=0infinity); (2) 无界函数的广义积分 restart; assume(a0); f:=x-1/sqrt(a2-x2); Int(1/sqrt(a2-x2),x=0a)=int(f(x), x=0a); 4.8 定积分的应用 1、平面图形的面积 with(plots): implicitplot(y2=2*x,y=x-4,x=010,y=-210); solve(y2=2*x,y=x-4,x,y); int(y+4-y2/2,y=-24); f:=-x2+4*x-3; x1:=0:y1:=-3:x2:=3:y2:=0: k1:=subs(x=x1,diff(f,x); k2:=subs(x=x2,diff(f,x); f1:=k1*(x-x1)+y1; f2:=k2*(x-x2)+y2; plot(f1,f2,f,x=-24); solve(y=-2*x+6,y=4*x-3,x,y); int(4*x-3-(-x2+4*x-3),x=03/2) +int(-2*x+6-(-x2+4*x-3),x=3/23); 2、旋转体的体积 with(plots): implicitplot(x2)(1/3)+(y2)(1/3)=2(2/3),x=-22,y=- 22