直线的两点式方程.ppt

直线的 两点式方程 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 ) k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 k为斜率，b为截距 1). 直线的点斜式方程： 2). 直线的斜截式方程： 解：设直线方程为：y=kx+b 例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直 线的方程 一般做法： 由已知得： 解方程组得： 所以:直线方程为: y=x+2 方程思想 还有其他做法吗？ 为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？ 即： 得: y=x+2 设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得： 二、直线的 两点式方程 已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 两点的直线方程 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点 可得直线的两点式方程： kPP1= kP1P2 记忆特点： 1.左边全为y，右边全为x 2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同 推广 不是! 是不是已知任一直线中的两点就能用两 点式 写出直线方程呢？ 两点式不能表示平行于坐标轴或与坐 标轴重合的直线 注意： 当x1 x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢 ? 若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 x2,或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么? 当x1 x2 时方程为： x x 当 y1= y2时方程为： y = y 例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线l 的方程 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得: 即 所以直线l 的方程为： 四、直线的截距式 方程 截距可是正数,负数和零 注意： 不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 截距式直线方程: 直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条? 解: 两条 例 3: 那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0) 所以直线方程为：x+y-3=0 a=3 把(1,2)代入得： 设:直线的方程为: 举例 解：三条 (2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条? 解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 设 截距可是正数,负数和零 例4:已知角形的三个顶点是A(5，0)， B(3，3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程. 解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为： 整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程. 举例 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为： 即 整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程. 过A(-5,0),M 的直线方程 M 中点坐标公式： 则 若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y). B(3,-3),C(0,2) M 即 M 已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对 称的直线l 1的方程. 解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(4,3). 那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上. 因此,直线l 1的方程为： 化简得: 2x + y -11=0 思考题 还有其它的方法吗？ l l 1，所以l 与l 1的斜率相同 kl1=-2 经计算，l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4) 化简得： 2x + y -11=0 名 称 几 何 条 件 方程 局限性 归纳 直线方程的四种具体形式 (1) 平面直角坐标系中的每一条直线 都可以用一个关于x , y的二元一次 方程表示吗？ (2) 每一个关于x , y的二元一次方程 都表示直线吗？ 思考 分析：直线方程 二元一次方程 (2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可 看作y的系数为0的二元一次方程. (x-x0+0y=0) 结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示. (1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程. 即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？ （1）当B 0时，方程可变形为 它表示过点 ，斜率为 的直线. （2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不 为零,于是方程可化为 ，它表示一条与 y 轴平 行或重合的直线. 结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示 一条直线. 直线方程 二元一次方程 由1，2可知： 直线方程 二元一次方程 定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为 0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 定义 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线 （1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合： 分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在, 在x轴上的截距不为0即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0. (4) B=0 , C=0 , A 0. 探究 例 1 已知直线过点A(6，4)，斜率为 ,求直线的点斜式和一般式方程. 解：代入点斜式方程有 y+4= (x-6). 化成一般式，得 4x+3y-12=0. 举例 例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜 截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形. 解：化成斜截式方程 y= x+3 因此，斜率为k= ,它在y轴上的截距是3. 令y=0 得x=6.即L在x轴上的截距是6. 由以上可知L与x 轴,y轴的交点 分别为A(-6，0)B(0，3),过 A，B做直线,为L的图形. 举例 m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直? 解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0， 且两条直线的斜率分别为 但由于 所以两条直线不垂直. （2）若m=0