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线代框架之二次型1定义:二次型 (其中,即为对称矩阵,)。只含平方项的二次型称为二次型的标准形(此时二次型的矩阵为对角矩阵)经过化为标准形(其中).注:二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.标准形的系数只在1,-1,0三个数中取值的称为二次型的规范形,任意二次型均存在可逆变换化为规范形。2.合同:与合同 设A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C使得 ,则称A与B合同。合同的性质:;合同变换不改变二次型的正定性. 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是: 两个矩阵合同的必要条件是:用正交变换法化二次型为标准形: 写出二次型的矩阵A;求出的特征值、特征向量;对个特征向量正交化,单位化; 构造(正交矩阵),作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。例如:取,.用配方法化二次型为标准形:原则:配方时每次把一个字母处理干净3.正定二次型:惯性定理:设有二次型,秩为r,有两个可逆变换及使得及则中正数个数与中正数个数相等。正惯性指数 二次型的标准形中正项项数;负惯性指数二次型的标准形中负项项数 (为二次型的秩)。二次型的规范形唯一,实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.正定二次型 不全为零,.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.正定矩阵的性质:若为正定矩阵也是正定矩阵. 若为正定矩阵为正定矩阵,但不一定为正定矩阵.为正定二次型充要条件(之一成立): ,; 的正惯性指数为(或规范形n个系数全为1); 的特征值全大于; 的所有顺序主子式全大于; 与合同,即存在可逆矩阵使得; 存在正交
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