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第八章 概率和数理统计 概率分布、随机变量的数字特征、参 数估计、线性模型、非线性模型、假 设检验、多元统计、试验设计 一、概率分布函数及其密度函数 离散型概率分布： 二项分布(bino)、负二项分布(nbin)、几何分布 (geo)、超几何分布(hyge)、泊松分布(poiss)、 离散均匀分布(unid) 连续型概率分布： 均匀分布(unif)、指数分布(exp)、正态分布 (norm)、对数正态分布(logn)、 分布(gam)、 分布(chi2)、t-分布(t)、F分布(f)、 分布(beta) 、威布尔分布(weib)、瑞利分布(rayl) 函数： Y=pdf(name,X,A1,A2,A3) name为指定的密度函数或离散分布列的名称，X为自变 量的取值矩阵，而A1,A2,A3是分布相应的输入参数， 形式必须相同，输出的Y也和它们的形式相同。 Y=name+pdf(X,A1,A2,A3) 函数名调用格式数学意义 离散均匀分布Y=unipdf(X,N) 二项分布Y=binopdf(X,N,P) 负二项分布Y=Nbinpdf(X,R,P) 泊松分布Y=Poisspdf(X, ) 几何分布Y=Geopdf(X,P) 概率密度函数表 函数名调用格式数学意义 指数分布Y=Exppdf(X, ) 正态分布Y=Normpdf(X, ) 分布Y=chi2pdf(X,n) 分布Y=Gampdf(X,A,B) 分布Y=betapdf(X,A,B) 例1 ：某单位有内线电话300部，假设任意一时刻每部电话打外线电 话的概率为0.01,求在某一时刻恰有4部电话打外线的概率。在某一时 刻打外线电话的最可能部数是多少？ 解：设X表示某一时刻该单位打外线电话的电话部数， 则X的统计规律可用二项分布来描述，XB(300,0.01) 。 记A=“某一时刻恰有4部电话打外线”，则所求概率为 p=p(A)=p(X=4)。 p=binopdf(4,300,0.01) p = 0.1689 计算某一时刻打外线电话的最可能部数 y=binopdf(0:300,300,0.01); pp,m=max(y) pp = 0.2252 m = 4 例2：某种重大疾病的医疗险种，每份每年需交保险费100元，若在 这一年中，投保人得了这种疾病，则每份可以得到索赔额10000元， 假设该地区这种疾病的患病率为0.0002，现该险种共有10000份保单 ，问（1）保险公司亏本的概率为多少?（2）保险公司获利不少于80 万的概率是多少？ 解：设X表示这一年中发生索赔的份数，则X的统计规 律可用二项分布来描述，即XB(10000,0.0002)。由二 项分布与泊松分布的近似计算关系有 故X近似服从参数为2的泊松分布。当索赔份数超过100 份时，则保险公司发生亏本，亏本的概率为 ，当索赔份数不超过20份时，则保险公司获利就不少 于80万，获利的概率为 。 p=poisspdf(0:100,2); p1=1-sum(p) p1 = 1.1102e-016 p=poisspdf(0:19,2); p2=sum(p) p2 = 1.0000 由以上计算可知，如不考虑其他的风险，保险公司几乎 是只赢不亏。 例3：某厂研发了一种新产品，现要设计它的包装箱，要求每箱至少 装100个产品，且开箱验货时，每箱至少装有100个合格产品的概率 不应小于0.9，假设随机装箱时每箱中的不合格产品数服从参数为3的 泊松分布。问要设计的这种包装箱，每箱至少应装多少个产品才能 满足要求？ 解：设每箱至少装100+m个产品，X表示每箱 中的不合格品数，则X服从参数为3的泊松分布 while p1,Y1)。 解：调用inline()函数与dblquad(f,a,b,c,d)函数可计算矩形域上的二 重积分。 f=inline(x+y)/8,x,y);g1=inline(x.*(x+y)/8,x,y );g2=inline(x.*x.*(x+y)/8,x,y); f1=inline(x.*y.*(x+y)/8,x,y); Cov=db1quad(f1,0,2,0,2)-db1quad(g1,0,2,0,2)2 Cov = -0.0278 DX=db1quad(g2,0,2,0,2)-db1quad(g1,0,2,0,2)2 DX = 0.3056 q=Cov/DX q = -0.0909 P=db1quad(f,1,2,1,2) P = 0.3750 四、参数估计 函数名调用形式注释 BetafitBetafit(X) P,PCI=betafit(X, ) 返回 分布参数的最大似然估计和 水平的参数置信区间 BinofitBinofit(X,N) P,PCI=binofit(X,N ， ) 返回二项分布参数的最大似然估计和 水平的参数置信区间 ExpfitExpfit(X) , CI =expfit(X, ) 返回指数分布参数的最大似然估计和 水平的参数置信区间 GamfitGamfit(X) P,PCI=gamfit(X, ) 返回 分布参数的最大似然估计和 水平的参数置信区间 NormfitNormfit(X, ) , , CI, CI =normfit(X, ) 正态分布的最大似然估计，返 回 水平的期望方差值和区 间估计 PoissfitPoissfit(X) , CI =poissfit(X, ) 泊松分布的最大似然估计，返 回 水平的 的参数估计 和区间估计 UnifitUnifit(X, ) A,B,ACI,BCI=unifit( X, ) 均匀分布的最大似然估计，返 回 水平的参数和区间估计 说明： （1）各函数返回已给数据向量的参数最大似然 估计值和(1- ) *100% 的置信区间， 的默 认值为0.05，即置信度为95%。 （2）若被估计的分布参数有两个，则返回2*2 阶的置信区间阵，第一列是第一个参数的置信区 间的上下限，第二列是第二个参数的置信区间的 上下限。 例22：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得它们的直径（ 单位：mm）为5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76 若钢球直径服从正态分布 ，求这种钢球平均直径 和方差 的极大似然估计值和置信度为95%的置信区间。 解： X=5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76; mu,sigma,muCI,sigmaCI=normfit(X,0.05) mu = 5.4357 sigma = 0.2160 muCI = 5.2359 5.6355 sigmaCI = 0.1392 0.4757 五、参数假设检验 在总体的分布函数完全未知或已知其形式但不知 其参数的情况，根据样本的观察值，对总体的 某些未知参数或未知的总体分布做出某种推断 ，此类问题统称为假设检验问题。 假设检验首先提出假设，然后检验所抽取的样本 值是否支持这个假设。根据这组数据计算检验 统计量以及显著性概率P值。如果P值很小，则 就有理由怀疑所提出的假设的正确性，从而否 定所提出的假设。如果P值较大，找不到足够 的证据否定所提出的假设，认为所提出的这个 假设是相容的。 1.单正态 总体均值 的检验 已知（U检验法） H,P,CI,zval=ztest(X, , , ,TAIL) 该函数用来检验如下的参数检验问题 其中标准差为已知参数，X是来自正态分布的一组样本 值。 当TAIL=0时，备择假设 为 ； 当TAIL=1时，备择假设 为 ； 当TAIL=-1时，备择假设 为 ； H=0表示“在显著性水平为 的情况下，不能拒绝原假 设”； H=1表示“在显著性水平为 的情况下，可以拒绝原假 设”。 检验统计量为 ，在 为真时，UN(0,1), 为检验统计量的值，P=P(Uzval)，称为显 著性概率，当它小于给定的 时，小概率事件发 生了，此时则应拒绝原假设，CI为总体均值 的 100(1- ) %的置信区间。 例23：某种橡胶的伸长率 ，现改进橡胶配方，对 改进配方后的橡胶取样分析，测得其伸长率如下 0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 0.54 已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不便，问改进配方后橡胶的平 均伸长率有无显著变化( )? 解： x=0.56 0.