弹性力学基础及有限元法-3.ppt

内蒙古科技大学 机械工程学院 刘学杰 2015-03,弹性力学方程组的求解 The solution of elasticity equations FEM & ANSYS-3,有限元法及实践-3 Finite Element Method (FEM) & the Practice,Outline 概要,1. Review 回顾 2. Solution of the set of equations 求解 2.1. Methods 方法 2.2. Problem 问题 3. From IFEM to FEM 从无限元到有限元吗？ 变分 虚位移 最小能量原理,Review,The set of equations 1. The equilibrium equations （平衡方程） 2. The strain-displacement relationship （几何方程） 3. Stress-strain relationship （物理方程） The solution of the set of equations,The equilibrium equations : Stress & loads,The equilibrium equations,Strain-Displacement Relation (几何方程),Stress-strain relationship 物理方程（广义胡克定律）,The set of equations,Question 1: How to make the loading & constrains into the equations？,Elemental volume,位移/displacements u, v, w,应变/strains,应力/stress ,Question 2: what are the exact unknown values? What is the form of solution?,Elemental volume,位移/displacements u, v, w u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z),应变/strains,应力/stress ,The solution of the equations： How to get the solution?,1. The required known values (what must to be known?) 1) the geometrical values: shape and size （几何模型） 2) the materials properties: E, , G （材料性质） 3) The loads （载荷） 4) The constrains （约束） 2. The solution plan (how to resolve the equations?) 1) the transition of the set of equations （微分方程化简） the displacement method the stress method 2) the integration field （积分域） 3) the loads matrix （载荷矩阵） 4) the constrains the displacement matrix （位移矩阵）,The solution of elasticity equations: a great challenge,The solution methodology 1. The analytical method （解析法） 2. The calculus of variations （变分法，能量法） 3. The difference method （差分法 ） 微分方程 代数方程 （等距差分 偏微分与函数值联结） 4. The finite element method （有限元法） 连续体 离散化结构,The analytical method （解析法）: Elimination method （消元法）,The displacement method （位移法） The elimination of strains from the strain-displacement equation The elimination of stress from the strain-stress equation The equilibrium equation to obtain the displacement u, v, w To get the strains To get the stresses The stress method （应力法） 反逆解法、半逆解法 Problems ,The set of equations,The problem of equation solutions,1. 求解的问题 1）高阶微分方程 2）载荷处理 3）边界处理 4）解的性质：坐标的函数 2.解决方法 1）探索-深度认识-精确解 2）简化处理 数值方法 3.应该怎么样取向？ 学会欣赏、学会尊重、学会坚持。,The calculus of variations （变分法，能量法）,变分的概念 (Concepts) 函数与泛函 (Function & Functional) y = f(x) =y(x) 微分与变分 (Differential & Variation) 极值 (Extreme value),The calculus of variations （变分法，能量法）,函数(Function)：f(x)是变量x的实函数，即在其定义域内，任一x值都有一个实数f(x)与之对应。 泛函(Functional) ：(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数(y)与之对应。 变分命题：寻找y(x)使得泛函(y)取极值。 变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程。,The calculus of variations （变分法，能量法）,虚位移原理 (The principle of virtual displacement) 外力F方向，虚位移 ，虚应变 外力F所做虚功W： 整个结构虚应变能U： 虚位移原理： 最小势能原理 结构势能： = U - W 最小势能原理： 什么意思？, = U W = 0,The model of elasticity problem 弹性力学问题的模型,Elemental volume,位移/displacements u, v, w u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z),应变/strains,应力/stress ,Two-dimensional problems 两类平面问题,平面应力问题：,物理方程： ：应变矩阵 D：弹性矩阵,Two-dimensional problems 两类平面问题,平面应变问题：,Let:,Two-dimensional problems 两类平面问题,从无限元法走向有限元法 From InFEM to FEM,为什么从无限元法走向有限元法？ 采用有限元法就能够解决问题吗？为什么？ 有限元法解决问题的基本思路是什么？,The concept of FEM 有限元概念,Homework,1、简述弹性力学方程组的解