高等数学公式概念.doc

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目录第一章 函数与极限薚第一节 函 数.第二节 数列的极限.第三节 函数的极限第四节 无穷小与无穷大.第五节 极限四则运算法则第六节 极限存在准则、两个重要极限第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性.第十节 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分.第一节 导数的概念.第二节 函数的求导法则第三节 初等函数的求导问题.双曲函数与反双曲函数的导数第四节 高阶导数第五节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 相关辩化率第六节 函数的微分.第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理.第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数单调性的判定法第五节 函数的极值与最值第六节 曲线的凹凸与拐点第七节 曲率第八节 方程的近似解第四章 不定积分.第一节 不定积分的概念及其性质第二节 不定积分的换元积分第三节 不定积分的分部积分法.第四节几种特殊类型函数的积分第五章 定积分.第一节 定积分概念与性质第二节 微积分基本定理.第三节定积分换元积分法与分部积分法.第四节 广义积分.第六章 定积分的应用.定积分的元素法功 水压力和引力.平均值.第七章 空间解析几何与向量代数.第一节 空间直角坐标系.第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法第三节 向量的坐标第四节 数量积 向量积 混合积.第五节 曲面及其方程第六节 空间曲线及其方程.第七节 平面及其方程.第八节 空间直线及其方程.第九节 二次曲面第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念.第二节 偏导数.第三节 全微分.第四节 多元复合函数的求导法则.第五节 隐函数的求导法则第六节 微分法在几何上的应用.第七节 方向导数与梯度.第八节 多元函数的极值及其求法.第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质 .第二节 二重积分的计算第三节 二重积分的应用第四节 三重积分的概念及其计算法.第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分第十章 曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分.第二节对坐标的曲线积分.第三节格林公式及其应用.第四节对面积的曲面积分.第五节对坐标的曲面积分.第六节高斯公式 通量与散度第七节斯托克斯公式 环流量与旋度第十一章 无穷级数第一节常数项级数的概念和性质.第二节 常数项级数的申敛法.第三节 幂级数.第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用第七节 傅里叶级数.第八节 正弦级数与余弦级数.第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数.第十二章 微分方程.第一节 微分方程的基本概念.第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程第四节 一阶线性微分方程第五节 全微分方程第六节 可降阶的高阶微分方程第七节 高阶线性微分方程第八节 二阶常系数齐次线性微分方程.第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程第十节 欧拉方程第十一节 微分方程的幂级数解法.第十二节 常系数线性微分方程组解法举例第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。教学重点：分段函数、复合函数；一、 集合、常量与变量(一) 集合1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集2. 集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号 括起来，这种方法称为列举法. 3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。 显然：. 若,同时,就称A、B相等,记为A=B。 5.不含任何元素的集称为空集,记为,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。(二) 区间与邻域 1. 区间 设a和b都是实数，且ab, 数集 x | axb 称为开区间，记作(a,b)，即 (a , b)=x | axb. a和b称为开区间( a , b ) 的端点，这里a( a ,b ) ， b( a ,b ). 数集 x |a 称为闭区间，记作a,b，即 a, b = x| a .a和b称为闭区间 a ,b 的端点，这里a a , b ， b a , b . 类似地可以说明： a,b )= x | axb ,( a ,b =x |axb , a,b )和( a ,b都称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间a,b与开区间（a,b）在数轴上表示出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+（读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间: a，+)= x | ax， (- ,b )= x | xb， 全体实数的集合也可记作（-，+），它也是无限区间.2.邻域. 设是任一正数，a为某一实数，把数集 x| |x-a | 称为点a的邻域，记作U（a, ），即 U(a, )= x| |x-a | 点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径.由于a-xa+相当于| x-a |，因此U(a, ）= x| a-xa+,也就是开区间( a-,a+) 因为| x-a |表示点x与点a间的距离，所以U(a, ）表示：与点a距离小于的一切点x的全体.有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(, ），即U(, ）= x | 0|x-a |.这里00时，还过（0，0）点。（二）指数函数与对数函数1.指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，（1）当时，是单调增加的；（2）当时，是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称。2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，的图形总在轴右方，且过（1，0）点（1） 当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；（2） 当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。（三）三角函数与反三角函数三角函数三角函数主要是：正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割和余割，其图形在此不做讨论了。反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：反余弦函数：反正切函数：反余切函数：显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，同理：将限制在上，得将限制在上，得将限制在上，得从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。六 复合函数和初等函数1.定义：设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。注1：并非任何两函数都可以复合的， 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，3：在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。七 分段函数举例第二节 数列的极限教