夹角与距离(课后修改版).ppt

,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,回 顾,第三章 几何空间,3.4 平面和直线,三个向量的混合积,定义：, , 的混合积: () , 记为 (, , ).,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),() =,混合积的性质.,(1) (, , ) = 0.,(2) (, , ) = (, , ).,(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ).,(4) (m, , ) = m(, , ), 其中m为一实数.,(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,以及轮换对称性,() = ( ) = () .,三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积() = 0.,三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,平面的方程,1. 点法式方程.,2. 一般方程.,Ax+By+Cz+D = 0.,经过不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面的方程为,3. 三点式方程.,4. 截距式方程.,空间直线的方程,1. 参数方程.,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt, t R.,2. 标准(对称)方程. ( lmn 0 ),= (l, m, n),3. 一般方程.,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,4. 两点式方程.,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线L的 方程为,关于平行的问题,想一想： 线与线何时平行？ 面与面何时平行？ 线与面何时平行？,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(也不难),(简单),(简单),关于交点交线的问题,第三章几何空间,3.4 平面和直线,想一想： 线与线何时相交？ 线与面何时相交？ 面与面何时相交？,课后注：上面两类问题，可以从直线的方向向量与平面的法向量之间的关系得到答案(几何角度)；也可以联立它们的方程，然后考察所得的方程组的解的情况给出答案。(代数角度),例1. 求直线与平面的交点坐标。参见教材108页例3.11,法一：将直线的参数表达式代入平面方程，求出参数 t 的值；,法二：联立直线的一般方程和平面的方程，得到一个方程组，求解方程组的根（根存在唯一当且仅当交点存在唯一）,注意：所谓交点，就是同时满足直线 方程和平面方程的点,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例2. 考察三个平面的交点或交线情况。参见教材108页例3.13,注意：所谓交点或交线，就是同时满足 三个平面方程的点或由这些点组成的线,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例3. 当参数k取什么值时， 直线,相交？,L1,L2,P1,P2,s1,Q2,第三章几何空间,3.4 平面和直线,Q1,s2,Q2,课后注：也可以联立两直线的方程，然后考察所得的方程组是否有解。,关于夹角和距离的问题,第三章几何空间,3.4 平面和直线,三. 与直线, 平面有关的一些问题,1. 夹角.,(1) 两条直线的夹角.,注: 夹角的范围: 0 /2., = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,三. 点, 直线以及平面的位置关系,1. 夹角.,(1) 两条直线的夹角.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(2) 两个平面的夹角.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(3) 直线与平面的夹角.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,(3) 直线与平面的夹角.,例4. 求直线 l:, : x + 2y + z + 1 = 0之间的夹角.,与平面,2. 距离.,(1) 点P到直线 l 的距离:,(2) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D = 0 的距离:,第三章几何空间,3.4 平面和直线,L1,(3) 异面直线之间的距离.,L2,s1,s2,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例5. 求直线l1:,x1,1,2,2,y+5,z,=,=,l2: x+1 = y = z1的距离及公垂线的方程.,与,第三章几何空间,3.4 平面和直线,3. 通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,3. 通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,例6. 已知两平面1: 2x y + z + 1 = 0,问1与2是否相交; 如果相交, 求出交线在 平面 : 2x + 3y 6 = 0上的投影直线方程.,2: x 3y + 2z + 4 = 0.,第三章几何空间,3.4 平面和直线,例7. 已知直线l:,(1) 求过直线l和点P的平面的方程.,x y + z + 1 = 0 2x + y z 2 = 0,P(1, 1, 1), Q(1, 0, 1).,和点,(2) 求过直线l和点Q的平面的方程.,P(1, 1, 1),Q(1, 0, 1),(1+22)x + (1+2)y + (12)z + (122) = 0,1 = 0,31 2 = 0,第三章几何空间,3.4 平面和直线,注：教材3.5节不作要求，有兴趣的同学自学。它讨论的问题是空间中一点在不同的坐标系下的坐标之间的关系，在三维游戏程序设计中非常有用。,第三章几何空间,3.4 平面和直线,提纲,向量,运算,应用,第三章几何空间,极端情况 | = 0, 无方向,表示 画(有向线段) 写(AB, , ),特点 自由,要素 大小, 方向,第一章 向量代数 平面与直线,提纲, ,背景 力, 位移, 复数, ,向量,力, 位移, 复数, ,大小, 方向,自由,| = 0, 无方向,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积, ,第三章几何空间,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积, , ,交换律,结合律, ,第三章几何空间,提纲,向量,运算,加法,数乘, ,大小: |k| = |k|,方向: 视k的符号而定, (n+m) = , 1 = , n(m) = (nm), m(+) = ,数量积,向量积,混合积,第三章几何空间,提纲,向量,运算,加法,数乘, ,基,仿射坐标系,线性运算,= xi + yj + zk,i j k,= (x, y, z),(x1, y1, z1),k(x, y, z),= (kx, ky, kz),(x2, y2, z2),+,=,第三章几何空间,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积, ,第三章几何空间,提纲,描述 几何对象,向量,运算,应用, ,描述 几何事实,描述 几何问题,解决 几何问题,点 线/面,坐标 方程,平行(共线)/垂直 长度/面积/体积 夹角/距离,第三章几何空间,提纲,与共线 , 与线性相关, = ,共面, , 线性相关, (,) = 0,若与非零, 则 , = 0, | | = |,若 , 则与共线 ,|m s.t. = m,|(m, n) s.t., = m + n,与 的坐标成比例, ,第三章几何空间,提纲, ,平面方程,数量积,混合积,过原点,平行于坐标轴,垂直于坐标轴,第三章几何空间,提纲,对称式方程,数乘 / 向量积,两点式方程,平面的交线,参数方程,直线方程, ,第三章几何空间,线线夹角,提纲, ,面面夹角,线面夹角,第三章几何空间,提纲, ,点面距离,点线距离,异面直线距离,第三章几何空间,教学内容和基本要求,1. 理解几何向量的概念及其加法, 数乘运算, 熟悉运算规 律,了解两个向量共线和三个向量共面的充要条件; 2. 理解空间直角坐标系的概念, 了解仿射坐标系的概念, 掌握向量的坐标表示; 3. 理解向量的数量积, 向量积和混合积的概念, 理解它们 的几何意义, 了解相关的运算性质, 掌握利用坐标进行 计算的方法. 4. 理解平面的法向量的概念, 熟练掌握平面的方程的确定 方法, 熟悉特殊位置的平面方程的形式; 5. 理解直线的方向向量的概念, 熟练掌握直线的对称方程, 一般方程及参数方程的确定方法; 6. 了解直线, 平面间的夹角的定义, 了解点与直线, 平面间