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文档简介

二重积分的复习二重积分的复习 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 一、主要内容 二重积分的定义 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 二重积分的性质 性质 当 k 为常数时， 性质 性质 对区域具有可加性 性质若 为D的面积， 性质若在D上 特殊地 则有 性质 性质 二重积分的计算 X型 （）直角坐标系下 Y型 （）极坐标系下 D : D : D : 注意：当被积函数为 积分区域是圆或 圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分， 常可简化计算。 二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 (3) 重心 当薄片是均匀的，重心称为形心. 薄片对 z z 轴上单位质点的引力 G 为引力常数 (4) 引力 二、典型例题 例1 解 X-型 例2 解 先去掉绝对值符号，如图 例3 解 例4 解 例5 解 例6 证 例7 解 例8 解 利用球面坐标 例 解 例10 证思路：从改变积分次序入手 思考与练习 1. 2. 改变下列二次积分的积分次序 ： 1. 解 D 是 Y型 。 将 D 向 y 轴投影。 求交点 ： 于是， D 是 X型 。 将 D 向 x 轴投影 。 得 求交点 ： 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 于是， 在极坐标系中，D 可表示为 2. 改变下列二次积分的积分次序 ： 解(1) 积分区域为 将 D 向 y 轴投影。 积分区域为 将 D 向 x 轴投影, 3. 4. 5. 6. 7. 3. 解 D 是 X型 。 将 D 向 x 轴投影 。 解先去掉绝对值符号， 4. 5. 解积分区域为 将 D 向 y 轴投影。 解 6. 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 证 7. 积分区域为 将 D 向 y 轴投影。 8. 10. 9. 8. 解 所求立体可以看成是一个 曲顶柱体，它的曲顶为 底为 于是， 9. 解 平面方程 所求面积 所求面积 10. 解所求表面分成和，如图。 第一块（ ）在半球面 第二块（ ）在锥面 记为 A 。 记为 A 。 由 由 因此，曲面和在 xoy 面上 的投影区域均为圆域： A的曲面方程为 Dxy 极坐标系下表示：
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