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81 多元函数的基本概念 一、区域 二多元函数概念 三多元函数的极限 四多元函数的连续性 邻域、 内点、开集、边界点、边界 连通性、区域、闭区域 n维空间、点的坐标、两点间的距离 二元函数的定义、值域、二元函数的图形 二元函数连续性定义、 函数的间断点 多元连续函数的性质、 多元初等函数 一、区域 设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即 邻域: U(P0，d ) P | |P P0|0(无界开区域)； O x y x+y0 二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D，变 量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f(x，y)(或z=f(P) 二元函数的定义： 其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量 例 函数z=ln(x+y)的定义域为 (x，y)|x+y0(无界开区域) ； 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x，y)|x2y21(有界闭区域) O x y x2y21 值域： z|z=f (x，y)，(x，y)D 二元函数的图形： 点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D称为二元函数zf(x，y) 的图形 二元函数的图形是一张曲面 例 z=a x+b y + c是一张平面， x y z O x0 y0 M0 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个： 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径 为a的球面它的定义域为 D =(x，y)|x2y2 a 2 O x y 三多元函数的极限 二重极限的定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是 D的内点或边界点如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ， 使得对于适合不等式 的一切点P(x，y)D ，都有 |f (x，y)A|c) 函数zf (x，y)在点P (x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f (x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向 梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为 三元函数的梯度： 设函数uf (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数， 对于每一点P (x，y，z) G ，函数 uf (x，y，z)在该点的梯度 grad f (x，y，z) 定义为： 结论： 三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向 导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值 等量面： 曲面 f (x，y，z)c 为函数uf (x，y，z)的等量面 函数uf (x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等 量面 f (x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低 的等量面指向数值较高的等量面， 而梯度的模等于函数在这个 法线方向的方向导数 例3 求grad 解 这里 f(x，y) 因为 ， 所以 grad 例4 设f (x，y，z)x2y2z2 ， 求grad f (1，1，2) 解 grad f fx，fy，fz 2x，2y，2z， 于是 grad f (1，1，2)2，2，4 如果与点M相对应的是一个向量 (M)，则称在这空间区域G 如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、 密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 数量场与向量场： 内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)一个向量场可用一 个向量函数 (M)来确定，而 其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数 利用场的概念，我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个 向量场梯度场，它是由数量场f(M)产生的通常称函数 f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场必须注意， 任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的 梯度场 势与势场： 88 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 极值的定义、取得极值的必要条件 取得极值的充分条件、极值的求法 最大值和最小值问题 条件极值、拉格朗日乘数法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该 邻域内异开(x0，y0)的点(x，y)：如果都适合不等式 f (x，y)f(x0，y0)， 则称函数在点(x0，y0)有极小值f(x0，y0) 极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值 点 极值的定义： 例1 函数z3x24y2在点(0，0)处有极小值 x y O z x y z O 例3 函数zxy 在点(0，0)处既不取得极大值也不取得极小 值因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域 内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点 二元函数的极值概念，可推广到n元函数设n元函数uf(P) 在点P 0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于P 0的任何 点P都适合不等式 f(P)f(P 0) 则称函数f(P)在点P0有极大值(极小值)f(P0) 定理1 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点 (x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0 取得极值的必要条件： 类似地可推得，如果三元函数uf (x，y，z)在点(x0，y0，z0) 具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为 fx(x0，y0，z0)0，fy(x0，y0，z0)0，fz(x0，y0，z0)0 凡是能使fx(x，y)0，fy(x，y)0同时成立的点(x0，y0)称为 函数zf (x，y)的驻点 讨论： 驻点与极值点的关系怎样？ 答： 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点但函数的驻点不一 定是极值点 定理2 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一 阶连续偏导数，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令 fxx(x0，y0)A，fxy(x0，y0)B，fyy(x0，y0)C， 则f (x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： (1) AC B 20时具有极值，且当A0时有 极小值； (2) AC B 20，又A0，所以函数的(1，0) 处有极小值f(1，0)5； 在点(1，2)处，ACB 212(6)0，又A0，y0内取得 水箱所用的材料最省 即 二、条件极值 拉格朗日乘数法 例如，求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x，y，z，则问题归结为求函数Vxyz在附 加条件2(xyyzxz)a2下的极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 条件极值： 求条件极值的方法： 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 例如求函数Vxyz在附加条件2(xyyzxz)a2下的极值时， 由条件2(xyyzxz)a 2，得 将其代入Vxyz中，于是问题就化为求 的无条件极值问题 函数zf (x，y)在条件(x，y)0下取得极值的必要条件： 如果函数zf (x，y)在(x0，y0)取得所求的极值，那么有 (x0，y0)0 假定在(x0，y0)的某一邻域内f (x，y)与(x，y) 均有连续的一阶偏 导数，而y(x0，y0)0由隐函数存在定理，由方程(x，y)0确 定一个单值且具有连续导数的函数yy(x)，将其代入目标函数 zf (x，y)，得一元函数 zf x，y(x) 于是xx0 是一元函数zf x，y(x)的极值点 由取得极值的必要条件，有 由取得极值的必要条件，有 即 从而函数zf (x，y)在条件(x，y)0下在(x0，y0)取得极值的必要 条件是 上述必要条件变为 找函数zf(x，y)在条件(x，y)0下的可能极值点的方法是： 拉格朗日乘数法： 由这方程组解出x，y，则x，y就是所要求的可能的极值点 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情 形 至于如何确定所求的点是否是极值点，在实际问题中往往 可根据问题本身的性质来判定 先构成辅助函数F (x，y)f (x，y)