药学高数28二阶常系数.ppt

第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的性质 方程 y+p(x)y+q(x)y =f (x) (9-24) 称为二阶线性微分方程(非齐次) 若非齐次项 f(x) 0, 则称为齐次方程. y+p(x)y+q(x)y =0 (9-25) 定理9-1: 若 y1(x), y2(x) 是二阶齐次线性微分方程的解, 则 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) 也是该方程的解. 证: y1(x), y2(x) 都是 (9-25) 的解 y1+p(x)y1+q(x)y1=0 y2+p(x)y2+q(x)y2 =0 y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x) 代入方程的左端, 得: (C1 y1+C2 y2)+p(x)(C1 y1+C2 y2)+q(x)(C1 y1+C2 y2)=0 1 定理9-2 若 y1(x), y2(x) 是二阶齐次线性微分方程 (9-25)的 解, 且 不为常数, 则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x) 是该方程的通 解。 证：由定理9-1知 y=C1 y1(x)+C2 y2(x)是方程(9-25)的解。 由 及 不为常数,可知任意常数C1和C2不能合并成一个 常数,即它们相互独立,则 y=C1 y1(x)+C2 y2(x) 是该方程的通 解。 2 注意: 定理9-1和定理9-2的区别。 当 y1=ky2 时, y=C1 y1+C2 y2=C1ky2+C2 y2(x)=(C1k+C2) y2=C y2 其中，只含一个任意常数C，故不是二阶齐次线性微分方 程（9-25）的通解。 当两个函数的比值等于常数时, 称它们线性相关, 否则它们线性无关. y1/y2k 例如： ，容易验证 和 是该方程的两个解，且 故 是方程 的通解。 3 定理9-3 若 y*(x) 是非齐次线性微分方程的一个特解, Y(x)= C1 y1(x)+C2 y2(x) 是与它对应的齐次线性微分方程的 通解, 则 y(x)=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y =f (x) (9-24) 的通解. 4 定理9-4 若 y1(x) 是非齐次方程 y+p(x)y+q(x)y =f1(x) (9-26) 的解, y2(x) 是非齐次线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y =f2(x) (9-27) 的解, 则 y(x)=y1(x)+y2(x) 是 y+p(x)y+q(x)y =f1(x)+f2(x) (9-28) 的解. 5 二、二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 （9-29） 设方程的解为 y=erx , 则 y =rerx , y =r2erx 代入方程中: erx(r2+pr+q)=0 特征方程: r2+pr+q=0 （9-30） (1) 当 p2-4q0 时, 特征方程 (9-30) 有实根 r1r2 方程 (9-29) 有特解：y1=er1x, y2=er2x, y1/y2=e(r1-r2)xk 方程的通解为 6 (2) 当 p2-4q=0 时，特征方程(9-30)有一重根 r1,2 =-p/2 方程 (9-29) 有特解：y1=erx 设与 y1 线性无关解为 y2 , 令 y2=u(x) erx y2=u(x)erx +r u(x)erx=u(x) +r u(x)erx y2=u(x)+2r u(x)+r 2u(x)erx 代入方程整理得： y+py+qy =u(x)+(2r+p)u(x) +(r2+pr+q)u(x)erx=0 u(x)=0 u(x)=Ax+B u(x)=x 得方程通解： y=(C1+C2x)erx7 (3) 当 p2-4q0单单根 r1r2 p2-4q=0重根 r1=r2=p/2 y =(C1+C2x)erx p2-4q0虚根 r1,2=i y =ex(C1cosx+C2sinx) 9 例9-18 求方程 y-2y-8y=0 的通解 解：特征方程：r2-2r-8=0 r1=-2, r2=4 得方程通解：y=C1e-2x+C2e4x 例9-19 求微分方程 y+4y+4y=0 满足初始条件 y|x=0=0, y|x=0=1 的特解 解：特征方程：r2+4r+4=0 r1=r2=-2 y=(C1+C2x) e-2x, 由初始条件： C1=0 , y=C2e-2x -2C2x e-2x , C2=1 特解为： y=xe-2x10 例9-20 求微分方程 y-4y+5y=0 的通解 解：特征方程：r2-4r+5=0 得共轭复根 r1,2= 2i 方程通解：y=e2x(C1cosx+C2sinx) 例9-21 求方程 y+25y=0满足初始条件 y|x=0=0, y|x=0=1 的特解 解：特征方程r2+25=0 特征根为 r1,2=5i 方程的通解为 y=C1cos5x+C2sin5x 由初始条件 C1=2, y=-10sin5x +5C2cos5x , C2=1 特解为： y=2cos5x+sin5x 11 n 阶常系数齐次线性微分方程 特征方程的根微分方程通解中的对应项对应项 单单根 rCer x k 重根 r(C1+C2x+C3x2+Ckxk-1) er x 一对对共轭轭复根 i ex(C1cos x+C2sin x) k 重共轭轭复根 i ex(C1 +C2x+C3x2+Ckxk-1 )cos x +(C1 +C2x+C3x2+Ckxk-1 )sin x y(n)+p1y(n-1)+ p2 y(n-2)+ +pn-1y+ pny=0 特征方程：rn+p1rn-1+ p2rn-2+ +pn-1r+ pn=0 12 例9-22 求微分方程 y(5)-3y(4)+4y(3)+8y=0 的通解。 解： 对应特征方程为： r5-3r4+4r3+8r2=0 r2(r+1)(r2-2r+5)=0 得特征根 r1=r2=0, r3=-1, r4,5=22i 因此通解为： y =C1+C2x+C3e-x+e2x(C4cos2x+C5sin2x) 13 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x) 的形式 特解的形式 f(x)= exPm(x) 当 不是特征方程的根时时, y*(x)= exQm(x) Qm(x)=a0xm+a1xm-1+ +am-1x+am 待定多项项式 y+py+qy=f(x) 特征方程: r2+pr+q=0 非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程特解 (一) f(x)= exPm(x) 其中 Pm(x) 为 m 次多项式, 是常数 14 f(x) 的形式 特解的形式 f(x)= exPm(x) 当 不是特征方程的根时时, y*(x)= exQm(x) 当 是特征方程的单单根时时， y*=xexQm(x) 当 是特征方程的重根时时， y*=x2exQm(x) 15 例9-23 求微分方程 y-5y+6y =xe2x 的通解 解：解特征方程：r2-5r+6=0 得特征根： r1=2, r2=3, 得对应齐次方程的通解： Y(x)=C1e2x+C2e3x f(x)=xe2x, =2 是特征根 设非齐次方程的特解为 y*(x)=x(a+bx)e2x=(ax+bx2)e2x y*= (a+2bx)e2x+2(ax+bx2)e2x= a+2(a+b)x+2bx2e2x y*= 2(2a+b)+4(a+2b)x+4bx2e2x 代入方程, 约去e2x 有 -a+2b-2bx=x 解得: a= -1, b= -1/2 得特解：y*(x)=-1/2x(x+2)e2x 得通解：y(x)=Y(x)+y*(x)=C1e2x+C2e3x-1/2x(x+2)e2x 16 (二) f(x)=exPm(x)cosx +Pn(x)sinx f(x)=exPm(x)cosx +Pn(x)sinx Maxm, n=l 当 i 不是特征方程的根时时， y*=exQl(x)cosx+Rl(x)sinx 当 i 是特征方程的根时时， y*=xexQl(x)cosx+Rl(x)sinx Q(x), R(x) 为为 l 次多项项式 17 例9-24 求微分方程 y+y=ex+cos x 满足初始条件 y|x=0=1, y|x=0=1 的特解 解：特征方程：r2+1=0 的根 r =i, 得齐次方程的通解：Y(x)=C1cosx+C2sinx f1(x)=ex, =1 不是特证根, 设 y1*=aex, f2(x)=cos x, i 是特征根, 设 y2*=x(bcosx+csinx), y*= y1*+ y2*= aex +x(bcosx+csinx), y*=aex +bcosx-bxsinx+ccosx+cxcosx =aex +(b+cx)cosx+(c-bx)sinx y*=aex +(2c-bx)cosx -(2b+cx)sinx 代入原方程 aex+(2c-bx)cosx-(2b+cx)sinx+aex+x(bcosx+csinx)=ex+cosx 18 2a=1 比较系数, 得 2c=1 -2b=0 解得: a=1/2, c=1/2, b=0 特解: y*= 1/2ex +1/2xsinx 通解: y=C1cosx+C2sinx+ 1/2