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高等数学基础 微积分 第二篇 第二章 定积分 定积分的概念、N-L公式 本章难点：本章难点： 换元积分法和分部积分法 本章重点：本章重点： 一、定积分的概念和性质 （一）定积分的定义 1、定义 (P-263) 2、定积分的几何意义 y xOa b 问题：定积分 与 不定积分 有什么区别？ （2）定积分 是一个确定的数值。 （1）不定积分 表示的全体原函数； （无穷多个函数） 下面我们的目标就是找出计算 定积分的方法。 （二）牛顿莱布尼茨公式（N-L公式） 因此，要求一个函数的定积分，方法为： 第一步，求这个函数的一个原函数F(x) （要用到求不定积分的方法）； 第二步，计算原函数在端点处的值之差 F(b)F(a). 第三步， 关键：求原函数F(x), 并且选取哪个原函数 都可以。 例1： 解： 由N-L公式有： （二）变上限积分 1、定义：在定积分中，固定下限，让上限 变化，得到变上限的定积分，它是关于x的 一个函数。记为： 由NL公式： 人们发现：这个函数恰好是被积函数的一个 原函数。 实际上，我们可以推导出上面的结论。 这正说明了变上限积分是被积函数 f(x) 的一个原函数。 例2： 解： 又因为变上限积分就是被积函数的 一个原函数 2、关于定积分的几个性质： 用来处理分段函数 【例3】 P269 练习2.1 题3 （3） 【解】 （三）定积分的求法 我们的目标：求出初等函数的定积分。 实际上，求定积分的计算方法与不定 积分的计算方法一致，只不过多了一个求多了一个求 函数值的步骤函数值的步骤罢了。 所以，我们可以借助不定积分的基本 计算方法，去探求定积分的特点以简化定 积分的计算。 类似不定积分的运算可考虑定积分计算的 三个方面： 一、基本初等函数的定积分； 二、定积分与四则运算的关系； 三、定积分与复合运算的关系。 对于一，已有基本的积分公式和NL公式； 对于二，有定积分的性质15； 对于三，有换元积分法换元积分法和分部积分法分部积分法。 第一换元法（凑微分法）的步骤：第一换元法（凑微分法）的步骤： 1 1、换元积分法、换元积分法 【例4】 【解】 由不定积分的凑微分法可知 于是 【例4】 【解】 (P-273)(P-273) 练习练习2.2 2.2 题题1 1 （7 7） 【例5】 解： (P-273)(P-273) 练习练习2.2 2.2 题题1 1 （2 2） 【解】 0606春考题春考题 用“第一换元法” 2、分部积分法 与不定积分的积分公式类似有： 幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数； 幂函数乘以指数函数时，先找指数函数 的原函数； 幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的 原函数。 注：找原函数找原函数的意思就是写成导数写成导数的形式。 【解】 解： 课本课本P-274P-274，题，题2 2，（，（1 1）（4 4） （1） 【解】 （3） 解： （4） 【解】 （四）广义积分 前面讨论的定积分，积分区间都是有限 区间a , b. 问：能否让区间扩大变成无限的呢？ 人们引进了新概念：无穷限的广义积 分，记号为： 类似地： 我们的目标：计算一些函数的广义积分 的值。先计算定积分值，再取极限。 例9： 解： 即广义积分收敛，其值为2。 例10： 解： 即广义积分收敛，其值为 例11： 解： 即广义积分收敛，其值为1。 所以，计算广义积分，主要包含两种 运算。第一，先计算定积分；第二，再计 算极限。 经过证明，我们可以得到下面的结论 类型1： 当 p 1 时，积分收敛；否则发散。 类型