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第一章 函数与极限 重点内容： 定理1 收敛的数列必定有界. 定理2 几个极限不存在的例子 因 定理3 几个极限不存在的例子 因 定理4 (局部保号性) B 例1 则点 （A）是 的极大值点 （B）是 的极小值点 （C）是 的驻点，但不是极值点 （D）不是 的驻点 定义1. 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小与函数极限的关系 定理5 定理6 无穷小与有界函数的乘积是无穷小. 答案 定义2. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定理7 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 定理8 这是因为 推论 典型极限 例3 求 解 原式 例4 试确定常数 a, 使 解 令则 即 求 解 即 因为 所以 例5 设 例6 解 求常数 a, b. 准则I 如果数列 及 满足下列条件: 那么数列 的极限存在, 且 两个极限准则 准则II 单调有界数列必有极限. 例7 求 解 由夹逼定理 定义3 记作 记作 常用等价无穷小: 定理9 (等价无穷小替换定理) 其它三个更高阶的无穷小 【 】 例8 当 B 时，下面四个函数哪一个是比 解 也可能是连续点, 需要判定. 初等函数无定义的孤立点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 求函数的间断点的方法 间断点的分类 1. 跳跃间断点 2. 可去间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 3. 第二类间断点 1. 铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线) 曲线的渐近线 2. 水平渐近线 (平行于x 轴的渐近线) 解 例10 求函数 的间断点并判断其类型. 解 例11 求出曲线 的水平与铅直渐近线. 解 的一条水平渐近线. 的铅直渐近线. 例12 设函数 解 求出 的解析表达式. 重要结果 例13 求 解 先考虑 因为 所以 故 解 原式 例14 计算 例15 计算 解 原式 令 则 例16 若 解1 求 解2 例16 若求 解 所以原极限不存在. 例17 求 定理9 初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 初等函数求极限的方法代入法. 定理10 (零点定理) 设函数 在闭区间 a, b上连续，且 与 异号(即 ), 那么 在开区间 (a, b)内至少有函数 的一个零点, 即至少有一点 使 定理11 闭区间上连续的函数, 必取得介于最大 值M 与最小值m 之间的任何值. 则则函数例18 设设常数 a 满满足 在区间间0, 1上的零点个数是( ) (A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3 B 第二章 导数与微分 导数定义的几种常用形式 重点内容： 2. 右导数 单侧导数 1. 左导数 切线方程为 法线方程为 导数的几何意义 （D）0 例1 设 在点 可导, 则 【 】 A.不存在 B. 3 C. 2 D. 1 定理1 可导函数都是连续函数. A C A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D.无因果关系 D 解 例5 设函数 解 解 定理2 复合函数的求导法则 推广 对数求导法适用范围: 由参数方程所确定的函数的导数 则 例7 解 切点为 例8 设函数 由参数方程 所确定, 求 解 (1) 例9 设 解 解 例11 解 例12 解 例13 解 罗尔定理 (1) 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; (3) 使得 第三章 中值定理与导数的应用 利用罗尔定理的关键是构造辅助函数. 重点内容： 拉格朗日中值定理 (1) 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; 使得 例2 已知函数 在0,1上连续，在(0,1)内可导,且 分析 第一部分用闭区间上连续函数的介值定理； 证明： (1) 存在 使得 使得(2) 存在两个不同的点 第二部分为双介值问题，需两次使用拉格朗日中值 定理. 证 (1) 令 且 F(0)= -10,于是由介值定理知， 使得即 则 F(x) 在0,1上连续， (2) 在 和 上对 分别应用拉格朗日中值 定理，存在两个不同的点 使得 于是 解1 洛必达法则求极限 解2 例4 解 即 (1) 式成立. 证 例5 证明不等式 原不等式等价于 例6 设 (1) 求 的驻点(2) 求 的极值. 解(1) (2) 解 例7 设函数 例8 设函数 在定义域内可导， (A) 的图形如右图所示 则其导函数 的图形为【 】 (B) （C） （D） A (A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根 例9 在