线性代数知识点全面总结07726.ppt

矩阵 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯 穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入。 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩 阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的概 念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件， 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵 的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正 确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩 和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵 方程。 总复习 概 念 特 殊 矩 阵 mn个数aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n) 构成的数表 单位矩阵: 主对角线元素都是1,其余元素 都是零的 n 阶方阵 E 对角矩阵:主对角元素是 其余 元素都是零的n阶方阵 对称矩阵: 一、矩阵主要知识网络图 AT = A 反对称矩阵: AT = A 矩 阵 运 算 A+B = ( aij + bij) kA= ( kaij ) AB = C 其中 A与B同型 的第 i 行是 A 的第 i 列. |A|= detA , A必须是方阵. 伴 随 矩 阵 n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成 的矩阵 AT: AT 逆 矩 阵 概 念 求 法 证 法 如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵. 用定义 用伴随矩阵 分块对 角矩阵 |A| 0 , A可逆 . |A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆. 反证法. 二、重要定理 1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A|B|。 2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。 3、n阶矩阵A可逆 |A| 0 R(A)=n A为满秩矩阵。 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT A 。 6、若A为反对称矩阵，则ATA 。 三、重要公式、法则。 1、矩阵的加法与数乘 (1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, OA = O 。 2、矩阵的乘法 (1)(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O. 3、矩阵的转置 (1)(AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT. 4、矩阵的逆 (1)(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ; (3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T . 5、伴随矩阵 (1) AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ; (3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T . 6、n阶方阵的行列式 (1)|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ; (3) |AB| = |A|B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ; (5) |A*| = |A|n-1 . 四、典型例题 1、方阵的幂运算 2、求逆矩阵 3、解矩阵方程 4、A*题 方阵的行列式 行列式是一个重要的数学工具，在代数学中有较多的 应用。 应当在正确理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质 的基础上，熟练地计算3阶、4阶行列式，也要会计算简单 的n阶行列式。还要会运用行列式求解n个方程n个未知数 的n元一次线性方程组。 计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理，通 过降阶来实现，但在展开之前往往先运用行列式的性质， 对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这样可简 化计算。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算 技巧。 一、行列式主要知识点网络图 概 念 排 列 行 列 式 逆序，奇排列，偶排列 一般项是不同行不同列元素乘积的代数和. D = DT 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 某行有公因子可以提到行列式的外面。 若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则 该行列式可拆成两个行列式. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。 行 列 式 知 识 点 性 质 展 开 计 算 行展开 列展开 定义法 递推法 加边法 数学归纳法 公式法 拆项法 乘积法 齐次线性方程组有非零解的充要条件 克拉默法则 应 用 二、主要定理 1、行列式的展开定理。 = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n ) = a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj 2、行列式展开定理的推论。 ai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 ( i j ) a1jA1k+ a2jA2k + + anjAnk = 0 ( j k ) 3、非齐次线性方程组克拉默法则。 其中Dj ( j = 1,2,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。 的系数行列式D 0 ， 原方程组有惟一解 4、齐次线性方程组的克拉默法则。 若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为 零。 三、重要公式 四、典型例题 1、34阶的行列式 2、简单的n阶行列式 3、用公式 可逆矩阵与初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，他在 解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十 分重要的作用。 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和 等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念，熟练掌握用初等变 换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非 零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求 解线性方程组的方法。 一、主要知识网络图一、主要知识网络图 矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换 初 等 方 阵 矩 阵 的 秩 线 性 方 程 组 矩矩 阵阵 的的 初初 等等 变变 换换 概 念 1.对换矩阵的i, j两行（列）. 2.用k0乘矩阵的第i行（列）. 3.把某i行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上去. 性 质 1.初等变换不改变矩阵的秩. 2.对A经过有限次初等变换得到B ，则A等价B. 用 途 求逆， 求矩阵A的秩、最简型、标准形. 求线性方程组的解. 初初 等等 方方 阵阵 性 质 初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵. 对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当 于对A左乘一个相应的 m 阶初等方阵； 对A实施一次列初等变换，相当于对A右 乘一个相应的 n 阶初等方阵. 任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方 阵的乘积. 概 念 对单位矩阵实施一次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵. 三种初等变换对应三种初等方阵. 矩矩 阵阵 的的 秩秩 概 念 k阶子式. 秩：矩阵非零子式的最高阶数 . 性 质 零矩阵的秩为零. r(A)=r(AT) 若B可逆，则r(AB)=r(A). r(A+B) r(A)+r(B) r(AB) minr(A), r(B) r(AB) r(A)+r(B)n 若AB=0, 则r(A)+r(B) n 线线 性性 方方 程程 组组 有非零解 r(A) 0 （2）用顺序主子式全大于零； （3）用n个特征值全大于零； （4）用正惯性指数p = n； （5）存在可逆矩阵C，使A = CTC 。 三、典型例题 1、求方阵的特征值、特征向量。 2、方阵对角化。 3、化二次型为标准形。 4、二次型及矩阵正定性的判定。 线性空间 线性空间是线性代数中比较抽象的部分。概念的抽象 性、理论的概括性固然增加了学习的难度，但是，只要掌 握了抽象思维与论证的规律，我们就可以在更高的视点上 观察并解决某些理论与实际方面的问题。 它研究的内容包括数及其运算、多项式及其运算、矩 阵（向量）及其运算等。研究的方法是针对每一种具体对 象探索它们运算所满足的各种性质，并用以解决本系统内 的相应问题。 线性空间 基本性质 子空间 一、主要知识网络图 集合、数域、运算律 常用结论 基底 维数基向量的个数 基不惟一 n维空间 中任意n 个线性无 关向量。 L(1，2， ,s) = 定义 坐标与坐标变换 坐标定义 向量与其坐标 过渡矩阵 坐标变换公式 保持加法数乘关系 保持线性相关 （或无关）的一致性 设V是一个非空集合,F是一个数域.如果能定义一种V 的元素间的运算,叫做加法:对于V中任意两个元素, ,都有 V中惟一的元素 之对应; 称为 与 的和,记为 = + .另外,还能定义一种数域F的数与集合V的元素间的运 算,叫做数乘:对于数域F中任一数k及集合V中任一元素 ,都有V中惟一的元素与之对应; 称为k与的数积,记为 = k.并且,集合V在以上两种运算下具有如下性质:对于 任意, , V 及 k,l F, 1) + = + ; 2)( + )+ = +( + ); 3)V中存在零元素,通常记为0,对于任何,恒有 +0= ; 4) 对于V,都有的负元素V,使+ =0; 5) l = ; 6) k(l)=(kl ) (式中是通常的数的乘法) ; 7)(k + l) = k + l (式中是通常的数的乘法) ; 8) k( + )= k + k ; 则称V为数域F上的一个线性空间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性空间的基本性质 性质1 线性空间的零元素惟一。 性质2 线性空间中任一元素的负元素惟一。 性质3 设V是数域F上的线性空间，则对任何 V 及k F ，总有：（i）0 =0； （ii） k0 =0； (iii)当k0 且 0时，定有k 0 . 性质4 设V 数域F上的线性空间，则对任何kF及 V， 总有 1一组向量 1，2，,s(s2)线性相关的充分必要 条件是有某个向量i可以被组中其余s-1个向量线性表示. 2若向量可被一组线性无关的向量1,2，,r线性 表示,则表示方法惟一. 3若1，2，,r线性无关，而1,2,r,线性相 关，则必可由1,2,r（惟一地）线性表示. 4线性相关向量组任意增加一些向量所成的向量组仍 然线性相关. 5线性无关向量组的任一部分向量组仍是线性无关组. 6若向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表示 ,且st，那么1,2,s必为线性相关向量组. 7向量组1,2,r秩为r的充分必要条件是1,2,r 线性无关. 8向量组与它的任意一个极大无关组等价. 9等价的向量组具有相同的秩. 设V是数域F上的线性空间，如果V中存在n个向量 1，2， n满足: 1) 1， 2 ， n线性无关; 2) V中任何向量均可由1，2，n线性表示,则称 1，2，n为V的一个基