中考专项复习锐角三角函数.ppt

第二十三讲 锐角三角函数 一、三角函数的定义义 在RtABC中,C=90,A,B,C 的对边对边 分别为别为 a,b,c,则则 sinA= ,cosA= , tanA= . 二、特殊角的三角函数值值 304560 sin _ cos _ tan _1 三、直角三角形中的边边角关系 1.三边边之间间的关系:_. 2.两锐锐角之间间的关系:_. 3.边边角之间间的关系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_, tanA=_,tanB=_. a2+b2=c2 A+B=90 四、解直角三角形的应应用 1.仰角和俯角:如图图1,在同一铅铅垂面内视线视线 和水平线线 间间的夹夹角,视线视线 在水平线线_的叫做仰角,在水平线线 _的叫做俯角. 上方 下方 2.坡度(坡比)和坡角:如图图2,通常把坡面的铅铅直高度h 和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表 示,即i=_;坡面与_的夹夹角叫做坡角,记记作. 所以i=_=tan. 水平宽宽度l i 水平面 3.方位角:指北或指南的方向线线与目标标方向所成的小 于90的角叫做方位角. 【自我诊诊断】(打“”或“”) 1.锐锐角三角函数是一个比值值. ( ) 2.直角三角形各边长扩边长扩 大3倍,其正弦值值也扩扩大3倍. ( ) 3.由cos= ,得锐锐角=60. ( ) 4.锐锐角的正弦值值随角度的增大而增大. ( ) 5.锐锐角的余弦值值随角度的增大而增大. ( ) 6.坡比是坡面的水平宽宽度与铅铅直高度之比. ( ) 7.解直角三角形时时,必须须有一个条件是边边. ( ) 考点一 求三角函数值值 【例1】(2017怀怀化中考)如图图,在平面直角坐标标系中 ,点A的坐标为标为 (3,4),那么sin的值值是 ( ) 世纪纪金榜导导学号16104353 【思路点拨】作ABx轴于点B,先利用勾股定理计算 出OA=5,然后在RtAOB中利用正弦的定义求解. 【自主解答】选C.作ABx轴于点B,如图, 点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin= 【名师师点津】根据定义义求三角函数值值的方法 (1)分清直角三角形中的斜边边与直角边边. (2)正确地表示出直角三角形的三边长边长 ,常设设某条直角 边长为边长为 k(有时时也可以设为设为 1),在求三角函数值值的过过程 中约约去k. (3)正确应应用勾股定理求第三条边长边长 . (4)应应用锐锐角三角函数定义义,求出三角函数值值. (5)求一个角的三角函数值时值时 ,若不易直接求出,也可 把这这个角转转化成和它相等且位于直角三角形中的角. 【题组过题组过 关】 1.(2017湖州中考)如图图,已知在RtABC中, C=90,AB=5,BC=3,则则cosB的值值是 ( ) 2.(2017金华华中考)在RtABC中,C=90,AB=5, BC=3,则则tanA的值值是 ( ) 【解析】选A.在RtABC中, 根据勾股定理,得AC= 再根据正切的定义,得tanA= 3.(2017滨滨州中考)如图图,在ABC中,ACBC, ABC=30,点D是CB延长线长线 上的一点,且BD=BA,则则 tanDAC的值为值为 世纪纪金榜导导学号16104354( ) 【解析】选A.设AC=a,则AB=asin30=2a, BC=atan30= a,BD=AB=2a. tanDAC= 4.(2017泸泸州中考)如图图,在矩形ABCD中,点E是边边BC 的中点,AEBD,垂足为为F,则则tanBDE的值值是( ) 【解析】选A.四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC, 点E是边BC的中点,BE= BC= AD, BEFDAF, EF= AF,EF= AE, 点E是边BC的中点,由矩形的对称性得:AE=DE, EF= DE,设EF=x,则DE=3x, DF= tanBDE= 考点二 特殊锐锐角三角函数值值的应应用 【例2】已知,均为锐为锐 角,且满满足 =0,则则+=_. 【思路点拨】根据非负数的性质求出sin,tan的 值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数, 进一步求和. 【自主解答】 =0, sin= ,tan=1,又,均为锐角, =30,=45,则+=30+45=75. 答案:75 【名师师点津】熟记记特殊角的三角函数值值的两种方法 (1)按值值的变变化:30,45,60角的正余弦的分母都 是2,正弦的分子分别别是1, 余弦的分子分别别是 1,正切分别别是 (2)特殊值值法: 在直角三角形中,设设30角所对对的直角边为边为 1,那么 三边长边长 分别为别为 1, ,2; 在直角三角形中,设设45角所对对的直角边为边为 1,那么 三边长边长 分别为别为 1,1, . 【题组过题组过 关】 1.(2017天津中考)cos60的值值等于 ( ) 【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60= . 2.(2016无锡锡中考)sin 30的值为值为 ( ) 【解析】选A.sin 30= 3.(2017六盘盘水中考)三角形的两边边a,b的夹夹角为为 60且满满足方程x2-3 x+4=0,则则第三边长边长 的长长是 ( ) 世纪纪金榜导导学号16104355 【解析】选A.解方程x2-3 x+4=0,得x1=2 ,x2= , 假设a=2 ,b= ,如图所示, 在直角三角形ACD中, CD= cos60= ,DB=2 - = ,AD= sin60= , AB= 4.(2015庆庆阳中考)在ABC中,若角A,B满满足 +(1-tanB)2=0,则则C的大小是 ( ) A.45B.60C.75D.105 【解析】选D.由题意得,cosA= ,tanB=1, 则A=30,B=45, 则C=180-30-45=105. 考点三 解直角三角形 【例3】(2016连连云港中考)如图图,在ABC中,C= 150,AC=4,tanB= . 世纪纪金榜导导学号16104356 (1)求BC的长长. (2)利用此图图形求tan15的值值(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2) 【思路点拨】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于D.由 ACB的度数ACD的度数AC=4AD的长CD的长 tanB= BD的长BC的长. (2)在BC边上取M,使CM=AC,连接AMAMC=MAC= 15tan 15= 化简得结论. 【自主解答】(1)过A作ADBC,交BC的延长线于点D, 如图1所示: 在RtADC中,AC=4,ACB=150,ACD=30, AD= AC=2, CD=ACcos30=4 在RtABD中,tanB= BD=16, BC=BD-CD=16- (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ACB=150, AMC=MAC=15, tan15=tanAMD= 0.270.3. 【名师师点津】解直角三角形的类类型及方法 (1)已知斜边边和一个锐锐角(如c,A),其解法: B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b= ). (2)已知一直角边边和一个锐锐角(如a,A),其解法: B=90-A,c= ,b= (或b= ). (3)已知斜边边和一直角边边(如c,a),其解法:b= , 由sinA= 求出A,B=90-A. (4)已知两条直角边边a和b,其解法:c= ,由tanA= 得A,B=90-A. 【题组过题组过 关】 1.(2017烟台中考)在RtABC中,C=90,AB=2, BC= ,则则sin =_. 【解析】在RtABC中,C=90,AB=2,BC= , sinA= ,A=60,sin = . 答案: 2.(2017广州中考)如图图,RtABC中,C=90, BC=15,tanA= ,则则AB=_. 世纪纪金榜导导学号16104357 【解析】因为BC=15,tanA= ,所以AC=8, 由勾股定理得,AB=17. 答案:17 3.(2016上海中考)如图图,在RtABC中,ACB=90, AC=BC=3,点D在边边AC上,且AD=2CD,DEAB,垂足为为点E, 连连接CE,求: 世纪纪金榜导导学号16104358 (1)线线段BE的长长.(2)ECB的余切值值. 【解析】(1)AD=2CD,AC=3,AD=2. 在RtABC中,ACB=90,AC=BC=3, A=45,AB= DEAB,AED=90,ADE=A=45, AE=ADcos45= . BE=AB-AE=2 ,即线段BE的长是2 . (2)过点E作EHBC,垂足为点H, 在RtBEH中,EHB=90,B=45, EH=BH=EBcos45=2,又BC=3,CH=1. 在RtECH中,cotECB= 即ECB的余切值 是 . 考点四 解直角三角形的应应用 【考情分析】 利用解直角三角形解决实际问题实际问题 是各地中考的 热热点,这这一类题类题 的题题型通常以解答题为题为 主,利用直角 三角形求物体的高度(宽宽度),解决航海问题问题 等. 命题题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽宽度)有 关的问题问题 【例4】(2017鄂州中考)小明想要测测量学校食堂和 食堂正前方一棵树树的高度,他从食堂楼底M处处出发发,向 前走3米到达A处处,测测得树顶树顶 端E的仰角为为30,他又继继 续续走下台阶阶到达C处处,测测得树树的顶顶端E的仰角是60, 再继续继续 向前走到大树树底D处处,测测得食堂楼顶顶N的仰角为为 45.已知A点离地面的高度AB=2米,BCA=30,且 B,C,D三点在同一直线线上. (1)求树树DE的高度. (2)求食堂MN的高度. 【思路点拨】(1)先在ABC中求AC的长,再求出 ACE=90,在ACE中求CE的长,最后在CDE中求DE 的长. (2)延长NM交BC于点G.先求GB,BC,CD的长,得到GD的长 ,再在DNG中求NG的长,最后求MN的长. 【自主解答】(1)由题意,得AFBC. FAC=BCA=30. EAC=EAF+CAF=30+30=60. ACE=180-BCA-DCE =180-30-60=90. AEC=180-EAC-ACE =180-60-90=30. 在RtABC中,BCA=30,AB=2, AC=2AB=4. 在RtACE中,AEC=30,AC=4, EC= AC=4 . 在RtCDE中,sinECD= ,ECD=60,EC=4 , sin60= ED=4 sin60=4 =6(米). 答:树DE的高度为6米. (2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3. 在RtABC中,AB=2,AC=4, BC= 在RtCDE中,CE=4 ,DE=6, CD= GD=GB+BC+CD= 在RtGDN中,NDG=45, NG=GD=3+4 . MN=NG-MG=NG-AB=3+4 -2 =(1+4 )米. 答:食堂MN的高度为(1+4 )米. 命题题角度2:利用直角三角形解决航海问题问题 【例5】(2017十堰中考)如图图,海中有一小岛岛A,它周 围围8海里内有暗礁,渔渔船跟踪鱼鱼群由西向东东航行,在B 点测测得小岛岛A在北偏东东60方向上,航行12海里到达D 点,这时测这时测 得小岛岛A在北偏东东30方向上.如果渔渔船不 改变变航线继续线继续 向东东航行,有没有触礁的危险险? 【思路点拨】作ACBD于点C,设AC=x海里,由三角函 数计算BC,CD的长,进而求得AC的长,通过比较AC的长 度与8海里的大小关系进行作答. 【自主解答】作ACBD于C,由题意知ABC=30, ADC=60, 设AC=x海里,则BC= x海里,DC= x海里, 因为BC-CD= x- x=12,所以x=6 海里. 因为6 8, 所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 命题题角度3:利用直角三角形解决坡度问题问题 【例6】(2017达州中考)如图图,信号塔PQ座落在坡度 i=12的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光 线线与水平线线成60角时时,测测得信号塔PQ落在斜坡上的 影子QN长为长为 2 米,落在警示牌上的影子MN长为长为 3米, 求信号塔PQ的高.(结结果不取近似值值) 世纪纪金榜导导学号16104359 【思路点拨】过点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于 点E,分别解RtQEN和RtMFP,求出EN,PF即可求出PQ 的高. 【自主解答】过点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于 点E, i=12,设EN=k,QE=2k, 由勾股定理可得QN= k=2,EN=2,FM=QE=4, FQ=ME=MN-NE=3-2=1. 在RtPFM中,FPM=180-90-60=30, PMF=60, PF=FMtan60=4 , PQ=FQ+PF=(1+4 )米. 答:信号塔PQ的高为(1+4 )米. 【名师师点津】解决解直角三角形的实际问题实际问题 ,有图图的 要先将题题干中的已知量在图图中表示出来,再根据以下 方法和步骤骤解决: (1)根据题题目中的已知条件,将实际问题实际问题 抽象为为解直 角三角形的数学问题问题 ,画出平面几何图图形,弄清已知条 件中各量之间间的关系. (2)若三角形是直角三角形,根据边边角关系进进行计计算, 若三角形不是直角三角形,可通过过添加辅辅助线线构造直 角三角形来解决.解直角三角形的实际应实际应 用问题问题 关键键 是要根据实际实际 情况建立数学模型,正确画出图图形找准 三角形. 【题组过题组过 关】 1.(2017温州中考)如图图,一辆辆小车车沿倾倾斜角为为的 斜坡向上行驶驶13米,已知cos= ,则则小车车上升的高 度是 ( ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 【解析】选A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离 为13cos=12米, 则由勾股定理得到其上升的高度为 =5(米). 2.(2017烟台中考)如图图,数学实实践活动动小组组要测测量 学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处处安置测倾测倾 器测测 得楼房CD顶顶部点D的仰角为为45,向前走20米到达A 处处,测测得点D的仰角为为67.5.已知测倾测倾 器AB的高度为为 1.6米,则则楼房CD的高度约为约为 (结结果精确到0.1米, 1.414) ( ) A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米 【解析】选C.设BB交DC于点C, 则 BB=BC-BC, 解得DC34.14. DC34.14+1.635.7. 3.(2017山西中考)如图图,创创新小组组要测测 量公园内一棵树树的高度AB,其中一名小组组 成员员站在距离树树10米的点E处处,测测得树顶树顶 A 的仰角为为54.已知测测角仪仪的架高CE=1.5米,则这则这 棵树树 的高度为为_米(结结果保留一位小数.参考数 据:sin540.8090,cos540.5878,tan54 1.3764). 世纪纪金榜导导学号16104360 【解析】由题知BD=CE=1.5,在RtADC中,由锐角三角 函数可得AD=CDtanACD=10tan54101.3764 =13.764,所以AB=AD+BD13.764+1.5=15.26415.3. 答案:15.3 4.(2017天津中考)如图图,一艘海轮轮位