专升本高数数学第二章导数与微分.ppt

求 导 法 则 基本公式 导 数微 分 关 系 高阶导数 高阶微分 第二章 导数与微分 1、导数的定义 导函数 注意： 记为 例题1.设 存在，且 则等于 A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析： 导数定义的本质： 练习：P43 第3题 2、单侧导数 左导数与右导数: 在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。 例. 见教材 P42 页例6 例题2. 讨论 在处的连续性与可导性. 分析： 所以在处连续 所以 因此在处可导。 题目的函数为： 当时， 所以 因此 从而 在 处可导。 判断可导性的另一种方法： 3、导数的几何意义： 函数 在点处的导数 表示曲线在点 处切线的斜率。 曲线在点 处的切线方程为 法线方程为： 例 求曲线 在点（2，8）处得切线方程和法线方程。 解 在点（2，8）处的切线斜率为 所以，所求切线方程为 所求法线斜率为 于是所求法线方程为 4、导数与连续的关系 ： 定理(函数可导的必要条件) ： 在点 处可导 在点 处连续。 可导连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件， 但不是充分条件。 例子 见教材 P42 例题7，8 例 函数在x=0连续但不可导， 于是有 可导一定连续，但是连续不一定可导。 连续一定有极限，但是有极限不一定连续。 因为 例 解 练习：P43页第7题 5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式） 6、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 或 注意： 与 的区别 表示复合函数对自变量 求导 （3）.复合函数的导数： 复合函数求导关键在于正确地分解复合 函数，正确地运用复合函数求导法则。 表示复合函数对中间变量 求导 例求下列函数的导数 例 设 ，求 解 例设，求 解 首页上页下页 (4) 隐函数求导法则 隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注 意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即 把y视为中间变量。 见 P53 页例3 例 求由方程所确定的隐函数的导数 解 方程两端对x求导数，得 例 求椭圆在点 处的切线方程. 解 所求切线斜率为 方程两边对x求导,得 首页上页下页 例 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 (5) 参变量函数的求导法则 解： 曲线上对应t =1的点（x, y)为（0,0）, 曲线t =1在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 y =x 求曲线在t =1处的切线方程例 例题：设 ，求 (6) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数 例. 见 P53 页例4，5，6 首页上页下页 两边对x求导数，得 解： 两边取对数，得 例 求函数 的导数. （7）抽象函数的求导法则 7、高阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法 。 1当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数 的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去 ， 直至求出所求阶导数的方法。 2当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数 的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律， 再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的 高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。 例求 的n阶导数. 解 一般地，可得 例 解 求 的 阶导数. 一般地，可得 首页上页下页 例 求 的阶导数. 解 一般地，可得 上页下页 练习：P51 2(1) (4) (5) 8、微分 (微分的实质) （1）微分的定义 （2）、导数与微分的关系 定理 （3）、 微分的求法 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分. （4）基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则 （5）、 微分的基本法则 微分形式的不变性 例.求函数的微分 (2) 例. 设 求 分析 ：是R