不定积分的概念与性质(37).ppt

第四章 山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室 第一节 不定积分的概念与性质 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念 四、不定积分的几何意义 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 思考 导数是 还有没有其他函数的导数也是如何求？ 这就是本章要解决的基本问题，即求一个未知函数，使 其导数（或微分）恰好是某一已知函数。这是求导的逆 过程，称为积分。此未知函数叫做原函数。 ? 的函数是不是只有和 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 一、 原函数与不定积分的概念 1 定义 1如果 在区间 I 上的则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上,或 原函数 . 如 是 是 的原函数 的原函数 思考 1. 一个函数满足什么条件其原函数一定存在? 2.原函数存在, 有几个？他们之间什么关系？ 1.连续函数一定有原函数.答 则有无穷多个.2. f (x) 若有原函数, 如果则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 如果 则 即 的原函数的全体称为 的不定积分, 记作 在区间 I上, 或 定义 2 常数 任意 积分号 即 表达式 被积 变量 积分 若 则( C 任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例如, 注： (1) 积分变量 x 与 f (x) 中的 x 必须一致，如 (2) 中 中 是 或 u 是常量 u 是变量 的原函数 或 或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例1计算不定积分 解:时, 由 时, 由 例2设 解: 求 例3 解: 设 是 的一个原函数, 求 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 二、 基本积分公式 ( k 为常数) 或 或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 解: 例5 求 解: 例4 求 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 三、不定积分的性质 推论: 若 则 思考： 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例6 求 解：原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例7 求 解: 例8 求 解: 原式 原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例9 求 解 : 例10 求 解: 原式 原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例11 求 解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例12 求 解: 原式 例13 求 解：原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例14 求 解: 思考: 原式 原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例15 求 解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 四、不定积分的几何意义 : 的图形是一族积分曲线. 若 的积分曲线 . 则曲线 称为 特点 : (2) 可由其中某一条经平移得到 积分曲线族中任意一条曲线 , (1 ) 积分曲线族有互相平行的切线 在横坐标相同的点处, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 : 曲线过点 (1, 2) , 因此所求曲线为 设曲线方程为由题设可知 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 内容小结 1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分的性质 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 思考与练习 1 证明 提示: 2 若 是的原函数 , 则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 3 若是的原函数 , 则 提示: 已知 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 4 若的导函数为则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: B 由题意 其原函