《运算法则》PPT课件.ppt

上 课 Date1微积分-极限的性质与运算法则 绝对值无限增大的变量称为无穷大(量). 分析定义: 00, 有| f(x)| M M 0, |x| X 时, X 0, 有| f(x)| M M 0, 比较: f (x)在X上无界 无穷大量与无穷小量 三个定义;两个定理;四个性质;一个推论. 定义1. 极限为零的变量称为无穷小(量). 定义2. Date2微积分-极限的性质与运算法则 (4) 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量. (3) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (2) 有限个无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. (1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 . 定理2.在同一过程中, 无穷大量的倒数为无穷小量; 定理 1. 定义3. 恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. Date3微积分-极限的性质与运算法则 2.4 极限的性质与运算法则 一、极限的性质 1(唯一性). 若limf(x)存在，则极限值唯一。 2(局部有界性). 若 存在， 则函数f (x)在x0的某空心邻域内有界 . 3(保号性). 若且A0 则在x0的某空心邻域内f (x)0 (或A0 A0且反例: 即 二、极限的四则运算法则 在极限存在的条件下，和、差、积、商(分母 不为0) 的极限等于极限的和、差、积、商。 注意法则条件 极限存在; 分母极限不为零 . Date5微积分-极限的性质与运算法则 证：由极限与无穷小量的关系， 再由极限与无穷小量的关系， 法则(1)、 成立。 都 用到法则(1)(2) 其中lim=lim=0 (2)、 (3) 是无穷小量 Date6微积分-极限的性质与运算法则 推论: 故推论(3)中的n还可推广到分数以至任何实数。 由直观得: (1)法则可推广到有限个函数的和、差、积 (“函数极限”一节已证 ) Date7微积分-极限的性质与运算法则 三、极限不等式 若在x0的某空心邻域内f (x)g (x)，且 则AB 证：由f (x)g (x)得f (x)g (x)0， 由极限性质4(保号性) AB0即AB 仅对xx0情形叙述、证明, 其它情形有类似结论。 注: 与“保号性”类似地, 即使条件改为“f (x)g (x)”, 结论仍为“AB” 定理 Date8微积分-极限的性质与运算法则 例1 解 四、求极限举例 Date9微积分-极限的性质与运算法则 小结: Date10微积分-极限的性质与运算法则 解 例3 (消去零因子法) Date11微积分-极限的性质与运算法则 例4 Date12微积分-极限的性质与运算法则 例5 解 变: =0 Date13微积分-极限的性质与运算法则 小结: Date14微积分-极限的性质与运算法则 例6 =1 例7 1 Date15微积分-极限的性质与运算法则 例8 解 无穷多项之和，不可用法则。先变形再求极限. Date16微积分-极限的性质与运算法则 例9 17 例11 无穷递缩等比数列求和公式推导 等比数列 前n项和 无穷递缩等比数列所有项之和 例10 设 Date18微积分-极限的性质与运算法则 例12 解 若 , 求a，b Date19微积分-极限的性质与运算法则 小结已经学过的几种求极限的方法 1. 在简单的情形可通过直观分析来求极限 2. 利用左、右极限与极限的关系来求极限 3. 利用无穷大量与无穷小量的关系求极限 4. 利用无穷小量的性质来求极限 5. 利用极限四则运算法则求极限（可能需要预先 对函数式作适当的变形） 后面我们将进一步讨论较复杂极限的求解方法。 Date20微积分-极限的性质与运算法则 解答 没有极限 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾，故假设错误 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为 什么？ Date21微积分-极限的性质与运算法则 作业： P68: 13(3)(4)(9)(10) (13)(14)(15) 15 思考13(17) Date22微积