世纪金榜理科数学(广东-2.ppt

第十一节 导数在研究函数中的应用 考 纲纲 考情 广东东五年4考 高考指数: 1.了解函数的单调单调 性与导导数的关系;能利用导导数研究函 数的单调单调 性,会求函数的单调单调 区间间(其中多项项式函数不 超过过三次) 2.了解函数在某点取得极值值的必要条件和充分条件;会 用导导数求函数的极大值值、极小值值(其中多项项式函数不超 过过三次);会求闭闭区间间上函数的最大值值、最小值值(其中多 项项式函数不超过过三次) 五年 考 题题 2013 T21 2012 T21 2011 T12 2009 T20 考情 播 报报 1.利用导导数求函数的单调单调 区间间及极值值(最值值)、结结合 单调单调 性与不等式的成立情况求参数范围围、证证明不等式 等问题问题 是高考命题题的热热点 2.常与基本初等函数的图图象与性质质、解析几何、不等 式、方程等交汇汇命题题,主要考查转查转 化与化归归思想、分 类讨论类讨论 思想的应应用 3.题题型主要以解答题为题为 主,属中高档题题 【知识识梳理】 1.函数的单调单调 性与导导数的关系 增函数 常量函数 减函数 2.函数的极值与导数 (1)极值的概念 f(x)f(x0) 极大值点 f(x)f(x0) 极 小值点 (2)利用导导数求极值值的步骤骤 求导导数f(x); 求方程f(x)=0的根; 列表,检验检验 f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧侧的符号(判断 y=f(x)在根左右两侧侧的单调单调 性),如果_(左增右减),那 么f(x)在这这个根处处取得_,如果_(左减右增),那 么f(x)在这这个根处处取得_.如果左右两侧侧符号一样样,那么 这这个根不是极值值点. 得极值值,由表得极大值值与极小值值. 左正右负负 极大值值左负负右正 极小值值 3.求函数f(x)在a,b上最值值的步骤骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_. (2)将函数y=f(x)的各_与端点处处的_比较较, 其中最大的一个是最大值值,最小的一个是最小值值,得出函数f(x) 在a,b上的最值值. 极值值 极值值函数值值f(a),f(b) 【考点自测测】 1.(思考)给给出下列命题题: f(x)0是f(x)为为增函数的充要条件; 函数在某区间间上或定义义域内的极大值值是唯一的; 函数的极大值值不一定比极小值值大; 对对可导导函数f(x),f(x0)=0是x0点为为极值值点的充要条件; 函数的最大值值不一定是极大值值,函数的最小值值也不一定是极 小值值. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.错误.f(x)0能推出f(x)为增函数,反之不一 定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0.所以 f(x)0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件. 错误.一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一 个. 正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大 值可能比极小值大,也可能比极小值小. 错误.对可导函数f(x),f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条 件,如y=x3在x=0时f(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是 极值点. 正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值 . 2.函数y= x2-lnx的单调递单调递 减区间为间为 ( ) A.(-1,1B.(0,1C.1,+) D.(0,+) 【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0,+), 又由y=x- 0,解得02时，f(x)0，所以x=2为f(x)的极小值点. 5.(2014杭州模拟)函数y=x+2cos x在区间 上的最大值 是 . 【解析】y=1-2sin x,令y=0,且x ，得x= , 则x 时，y0;x 时，yacB.cab C.cbaD.acb (2)(2013新课标课标 全国卷)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线线y=f(x)在点(0,f(0)处处的切线线方程为为y=4x+4. 求a,b的值值. 讨论讨论 f(x)的单调单调 性,并求f(x)的极大值值. 【解题视点】(1)根据已知条件构造函数y=xf(x),并用导数确 定其单调性,利用单调性比较a,b,c大小. (2)根据f(0)=f(0)=4构建关于a,b的方程求解. 根据确定f(x)的解析式,利用导数确定f(x)的单调性. 【规范解答】(1)选A.因为函数y=f(x)关于y轴对称, 所以函数y=xf(x)为奇函数. 因为xf(x)=f(x)+xf(x), 所以当x(-,0)时,xf(x)=f(x)+xf(x)ac,选A. (2)由已知得函数的定义域为R, f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f(0)=4. 故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4. 由知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2) . 令f(x)=0,得x=-ln2或x=-2. 从而当x(-,-2)(-ln2,+)时,f(x)0; 当x(-2,-ln2)时,f(x)0时， 由f(x)0,及x0得x2a; 由f(x)0得00时，函数f(x)在(2a,+)上单调递增，在(0,2a)上 单调递减. 当a0及x0得x-a; 由f(x)0得00时，函数f(x)在(2a,+)上单调递增，在(0,2a)上单调 递减. 【易错警示】求单调区间时要先关注函数的定义域 利用导数确定函数的单调性(区间),切记应先求定义域,再 考虑导数的符号,特别在确定含参数函数的单调性时,要注意分 类讨论.如本题中函数的定义域为(0,+),若解题时未求出此 定义域,则会导致错误. 【规律方法】用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)方法一:当不等式f(x)0(或f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; 解不等式f(x)0(或f(x)1, 所以 -10,又ln x0,所以 -1-ln x0, 所以f(x)0; 当x1时，00, 所以 -12,则 f(x1)与f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)f(x2) D.不确定 【解析】选C.由(x-1)f(x)1时,f(x)0,函数递增. 因为函数f(x+1)是偶函数, 所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x), 即函数的对称轴为x=1, 所以若1f(x2). 若x12-x11, 此时由f(x2)f(x2). 2.(2013湖南高考)已知函数f(x)= . (1)求f(x)的单调单调 区间间. (2)证证明:当f(x1)=f(x2)(x1x2)时时,x1+x20;当x0时，f(x)0; 同理，当x1时，f(x)-1,所以x+210,即bx(x+2)成立. 设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1, 因为x-1,所以y-1, 所以要使bx(x+2)成立,则有b-1. (2)由已知,函数的定义域为(0,+), 当a=-2时,f(x)=x2-2lnx, 所以f(x)=2x- , 则当x(0,1)时,f(x)0,(1,+)为f(x)的单调递增区间. 由题意得g(x)= ,函数g(x)在1，+)上是单调 函数. ()若函数g(x)为1,+)上的单调增函数， 则g(x)0在1,+)上恒成立, 即a 在1，+)上恒成立， 设(x)= , 因为(x)在1,+)上单调递减， 所以(x)max=(1)=0,所以a0. ()若函数g(x)为1,+)上的单调减函数， 则g(x)0在1,+)上恒成立，不可能. 综上，实数a的取值范围是0,+). 【通关锦锦囊】 高考指数重点题题型破 解 策 略 根据f(x)在区间间A上 单调递单调递 增(减),求参 数取值值范围围 转转化为为f(x)0(0)在A 上恒成立问题问题 求解 根据f(x)在区间间A上 存在单调递单调递 增(减) 区间间,求参数取值值范 围围 转转化为为f(x)max0(或 f(x)min0,知ax2-2ax+10在R上恒成 立，因此=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0,知00时，f(x)=ax+ln x，其中aR (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数f(x)在区间(-,-1)上单调递减，求a的取值范围. 【解析】(1)f(0)=0,x0时，f(x)=ax+ln x，f(x)=a+ , 由f(x)=a+ 0, 所以g(x)在(-,ln2)上为增函数, 当x(ln2,+)时,g(x)0,即(-x2+2)ex0, 因为ex0,所以-x2+20,解得- 0,所以x2-(a-2)x-a0对xR都成立. 所以=(a-2)2+4a0,即a2+40,这是不可能的. 故函数f(x)不可能是R上的减函数. 考点3 利用导导数研究函数的极值值(最值值) 【典例3】(1)(2013新课标课标 全国卷)若函数f(x)= (1-x2)(x2+ax+b)的图图象关于直线线x=-2对对称,则则f(x)的最大 值为值为 . (2)(2013新课标课标 全国卷)已知函数f(x)=x2e-x. 求f(x)的极小值值和极大值值. 当曲线线y=f(x)的切线线l的斜率为负为负 数时时,求l在x轴轴上截距 的取值值范围围. 【解题视点】(1)根据f(x)的图象关于x=-2对称,得 求出a,b的值,再利用导数求最值的步骤求解. (2)根据求极值的步骤进行求解;设切点,表示出切线l的方 程,令y=0得l在x轴上的截距,利用函数知识求得截距的取值范围 . 【规范解答】(1)因为函数f(x)的图象关于直线x=-2对称, 所以f(0)=f(-4),得4b=-60+15a, 又f(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a, 而f(-2)=0,-4(-2)3-3a(-2)2+2(1-b)(-2)+a=0. 得11a-4b=28, 即 解得a=8,b=15. 故f(x)=(1-x2)(x2+8x+15), 则f(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x3+6x2+7x-2) =-4(x+2)(x2+4x-1). 令f(x)=0,即(x+2)(x2+4x-1)=0, 则x=-2或x=-2- 或-2+ . 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-, -2- ) -2-(-2- , -2) -2 (-2, -2+ ) -2+(-2+ , +) f(x)正0负0正0负 f(x)极大值极小值极大值 f(-2- )=1-(-2- )2(-2- )2+8(-2- )+15=(-4 -8)(8-4 )=16, f(-2+ )=1-(-2+ )2(-2+ )2+8(-2+ )+15=(4 -8)(8+4 )=16, 故f(x)的最大值为16. 答案:16 (2)f(x)=e-x(-x2+2x),令f(x)=0,得x=0或2. 列表如下 函数f(x)的极小值为f(0)=0,极大值为f(2)= . x(-,0)0(0,2)2(2,+) f(x)-0+0- f(x)极小值极大值 设切点为( )，则切线l的斜率为k= 此时切线l的方程为 令y=0，得 由已知和得x0(-,0)(2,+). 令t=x0-2,则t(-,-2)(0，+)，令h(t)=t+ ， 则当t(0,+)时,h(t)的取值范围为2 ,+); 当t(-,-2)时，h(t)的取值范围是(-,-3), 所以当x0(-,0)(2,+)时，x的取值范围是(-,0) 2 +3,+)， 综上,l在x轴上的截距的取值范围是 (-,0)2 +3,+). 【规律方法】利用导数研究函数的极值的一般流程 【变式训练】1.(2014广州模拟)若 是函数f(x)=x2+ 2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1),x(1,+)的一个极值点，则a的 值为_. 【解析】因为函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)， 则f(x)=2x+2(1-a)+ 因为x= 是函数的一个极值点，所以f( )=0,解得a= . 答案： 2.(2014广州模拟拟)设设函数f(x)=x3-kx2+x. (1)当k=1时时,求函数f(x)的单调单调 区间间. (2)当k0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为R. (2)方法一:当k0,即kk,从而k0, 所以f(x)max=f(-k)=-2k3-k,f(x)min=f(k)=k. 【加固训练训练 】 1.(2013福建高考)已知函数f(x)=x-alnx(aR). (1)当a=2时时,求曲线线y=f(x)在点A(1,f(1)处处的切线线方程. (2)求函数f(x)的极值值. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1- . (1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f(x)=1- (x0), 所以f(1)=1,f(1)=-1, 所以y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f(x)= ,x0可知: 当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数 f(x)无极值. 当a0时,由f(x)=0,解得x=a. 因为x(0,a)时,f(x)0, 所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)= a-alna,无极大值. 综上:当a0时,函数f(x)无极值, 当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值. 2.(2012广东东高考)设设00, B=xR|2x2-3(1+a)x+6a0,D=AB. (1)求集合D(用区间间表示). (2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值值点. 【解析】(1)令g(x)=2x2-3(1+a)x+6a, =9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3a-1)(a-3). 当00,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a- 10,所以00)上存在极值值,求实实数m的取 值值范围围. (2)当x1时时,不等式f(x) 恒成立,求实实数t的取值值范围围. 【解析】(1)由题意k=f(x)= , 所以f(x)= 当00; 当x1时，f(x)0)上存在极值， 所以 得 0,从而g(x)0, g(x)在1,+)上单调递增，g(x)g(1)=2, 所以实数t的取值范围是(-,2. 【规范解答3】导导数在研究函数中的应应用 【典例】(12分)(2013新课标课标 全国卷)已知函数f(x)= ex-ln(x+m), (1)设设x=0是f(x)的极值值点,求m,并讨论讨论 f(x)的单调单调 性. (2)当m2时时,证证明f(x)0. 【审题】分析信息,形成思路 信息提取思路分析 (1) x=0是f(x)的极值点, 求m,并讨论f(x)的单 调性 求导将x=0代入f(x)=0求得 m得解析式讨论导函数符号, 得单调性 (2) m2,证明f(x)0 求f(x)的最小值f(x0),证明最小 值f(x0)0 【解题】规范步骤，水到渠成 (1)因为f(x)= ，x=0是f(x)的极值点， 所以f(0)=1- =0， 解得m=1, 所以函数f(x)=ex-ln(x+1)， 其定义域为(-1,+)，2分 f(x)= . 设g(x)=ex(x+1)-1,则g(x)=ex(x+1)+ex0， 所以g(x)在(-1,+)上是增函数.4分 又因为g(0)=0，所以当x0时，g(x)0， 即f(x)0， 当-1x0时，g(x)0，f(x)0， 所以f(x)在(-1,0)上是减函数， 在(0,+)上是增函数. 6分 (2)当m2,x(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2), 故只需证明当m=2时,f(x)0. 当m=2时,函数f(x)=ex- 在(-2,+)上单调递增. 8分 由f(-1)0, 故f(x)=0在(-2,+)上有唯一实根x0,且x0(-1,0). 当x(-2,x0)时,f(x)0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.10分 由f(x0)=0得 ,ln(x0+2)=-x0, 故f(x)f(x0)= . 综上，当m2时，f(x)0.12分 【点题】失分警示,规避误区 失分点防范措施 处忽略定义域导致失分 利用导数研究函数问题切记 定义域优先的原则 处未对m进行分析导致解 题无法