《高等数学复习》PPT课件.ppt

医用高等数学知识概要医用高等数学知识概要 1）函数的极限 2）无穷小 3）函数的连续性 一、极限与连续 左右极限 求极限的常用方法 极限存在的 充要条件 无穷小的比较 数列极限函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 无穷小 左极限右极限 定义: 无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理) 等价无穷小的性质 (1) (2) 两个重要极限 洛必达法则 1) 2) 3) 4) 5) 6) 左右连续 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 7)讨论 在x0和x1处的连续性。 8)设 要使f(x)在x0处连续，求a的值 。 求 导 法 则 基本公式 导 数微 分 关 系 二阶导数 函数的导数 1、导数的定义 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: 2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式） 3、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: 5、导数与微分的关系 定理 6、 微分的求法 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分. 基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则 7、 微分的基本法则 微分形式的不变性 典型例题 例1 已知 ，求 ， 存在，则 在 处可导 ？ 例2已知 例3 Lagrange 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘. 导数的应用 导数的应用 拉格朗日中值定理 导数的应用 定理 (1) 函数单调性的判定法 定理(必要条件) 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 定理(第一充分条件) 定理(第二充分条件) 求极值的步骤: 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; (4) 曲线的凹凸与拐点 定义 定理1 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 (5) 函数图形的描绘 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势; 第五步 例7 解 奇函数 列表如下: 极大值拐点 极小值 作图 积分法 原 函 数 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 不定积分 1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数 不定积分 (1) 定义 (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. (3) 不定积分的性质 3、基本积分表 是常数) 5、第一类换元法 4、直接积分法 第一类换元公式（凑微分法凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 常见类型: 6、第二类换元法 第二类换元公式 常用代换: 7、分部积分法 分部积分公式 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 L-对数函数；I-反三角函数； A-代数函数；T-三角函数； E-指数函数； 哪个在前哪个选作u. 9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 典型例题 例1 例2 例3 例4 例5 例8 例7 例6 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 定积分 变上限函数导数公式 定理1 定积分的计算法 换元公式 （1）换元法 （2）分部积分法 分部积分公式 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 广义积分 (1)无穷限的广义积分 例1 典型例题 例2已知 求f（0 ） 例3 例4 设F(x)= ，其中 是连续函数，则 例5 求由曲线和 所围平面图形的面积. 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件 ; 特解; 初值问题. 微分方程 的方程,称为可分离变量的微 分方程. 1）可分离变量的微分方程 例1. 求解微分方程 解分离变量 两端积分 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 2）一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 解：1）先分离变量 例2 2）两边积分 解：1）先求 的通解 例3 2）常数变异法，令 3）代入原方程，得 概率的基本公式 一、加法公式 定理1. 设A; B 为任意两个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB) AB 二、乘法公式 1.条件概率 定义:事件A和B,若P(A)0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率 或 B A 三、全概率公式及Bayes公式 完备事件组: 事件A1 , A2 , , An两两互不相容,且 全概率公式 设事件A1 , A2 , , An为一完备事件组,则 对任一事件B,都有: Bayes公式（逆概率公式） 另 ： 患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率 为0.95，而未患病的人误诊的概率为0.002， 又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现 有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有 结核病的概率？ 解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病 P(B|A) 例1 已知P(A|B)=0.95, =0.002,P(B)=0.001. 求 某医院采用A、B、C、D四种方法医 治某种癌症，在该癌症患者中采用这四 种方案的百分比分别为0.1、0.2、0.25 、0.45，其有效率分别为0.85、0.80、 0.70、0.6. 问:(1)到该医院接受治疗的患者, 治疗 有效的概率为多少？ （2）如果一患者经治疗而收效，最有可 能接受了哪种方案的治疗？ 例2 为 X 的分布函数. 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数 随机变量的分布函数 定义 连续型随机变量及其概率密度函数 概率密度函数: 或者 已知分布函数 求:p