数学与应用数学 毕业论文.doc

#学院本科学生毕业论文（设计）题目 论数学史的教育价值 系别 数理系 专业 数学与应用数学 学生姓名 # 学号 # 指导教师 # 职称 讲师 论文字数 10506 完成日期 2012 年 5 月 21 日目 录一、数学史学科的介绍及其发展(2)（一）数学史学科介绍(2)1.数学史的研究对象(2)2.数学史的分期(2)3.数学史的意义(2)（二）数学的发展史(2)1.数学发展史简述(2)2.数学悖论与数学史上的三次危机(2)二、当代数学教学的现状调查及特点(3)（一）学生数学学习情况的调查(3)1问卷和调查情况(3)2对调查结果的分析(3)（二）中国数学教学的若干特点(3)1中国的数学教学突出知识性的具体目标(3)2中国的数学教学长于由“旧知”引出“新知”(3)3中国的数学教学注重新知识内部的深入理解(3)4中国的数学教学重视解题和关注方法、技巧(3)5中国的数学教学重视巩固、训练和记忆(3)三、中国数学基础教育的缺失与出路(4)1中国数学基础教育成功吗(4)2中国数学基础教育缺失什么(4)3中国数学基础教育的出路在哪里(4)四、数学史的教育价值(5)参考文献(6)致谢(7)论数学史的教育价值# 数理学摘 要数学史是穿越时空的数学智慧。数学的发展历史呈现给我们的是一幅既源远流长，又日新月异的画卷。学习研读它将使我们获得思想上的启迪、精神上的陶冶，有助于开阔视野、了解数学及其思想、方法、发展的动态过程，加深对数学本质的认识，有助于教师和学生形成正确的数学观，有助于学生正确理解数学概念的形成过程，有助于实现数学活动过程的教学，有助于培养学生的数学创新精神。数学史也是数学课程不可或缺的有机组成部分，在数学教学中融合数学史教育，不仅能体现数学知识，数学思想方法的价值，也能体现情感、态度和价值观方面的价值。只有把数学史中数学思想方法的发展过程和学生学习数学过程中的认知变化过程相结合，才可以体现数学史的教学价值 著名数学史家M克莱因认为：“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有很多理由，但最重要的一条理由或许是，数学史是教学的指南。” 关键词：数学史 数学观 数学活动教学 教学价值 On the value of history of mathematics educationyouyanyi Department of mathematicsAbstract History of mathematics is the mathematical intelligence through time and space. History of mathematics presented to us is a long history of, and the changing picture. Learn reading it will make us get ideological inspiration, spirit of moulding, help to broaden our horizons, learn about mathematics and its ideas, methods, development of dynamic processes, deepen understanding of the nature of mathematics, helps teachers and students form a correct view of mathematics, contribute to the formation of students understanding of mathematical concepts and contribute to the achievement of teaching of mathematics activities, helps develop students creativity in mathematics. Part of organic history of mathematics is mathematics courses, in fusion history of mathematics education in the teaching of mathematics, not only embody the mathematical knowledge, value of mathematical thinking, can realize the value of emotion, attitude and values. Only the development of mathematical thinking in the history of mathematics and mathematics learning process of cognitive processes in combination in order to embody the mathematical history of famous historians of mathematics teaching value of m. Klein said: “every one should know the history of mathematics and University mathematics teachers in middle school, there are plenty of reasons, but perhaps the most important reason is that is the teaching of the history of mathematics Guide.” Key words :history of mathematics philosophy of mathematics mathematics teaching activities teaching values数学史学科的介绍及其发展一、数学史学科介绍（一）、 数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。 史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪始，西方历史学便形成了考据学，在中国出现更早，尤鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究之主要方法，只不过随着时代的进步，考据方法在不断改进，应用范围在不断拓宽而已。当然，应该认识到，史料存在真伪，考证过程中涉及到考证者的心理状态，这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也非史学研究的最终目的，数学史研究又不能为考证而考证。 不会比较就不会思考, 而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开始。今日世界的发展是多极的，不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。 数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。（二）、 数学史的分期 数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：1、数学萌芽期（公元前600年以前）；2、初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；3、变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；4、近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；5、现代数学时期（20世纪40年代以来）。（三）、 数学史的意义1、数学史的科学意义 每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。 科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证明四色定理等荒唐事，也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。 2、数学史的文化意义 美国数学史家m.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。 3、数学史的教育意义 当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。 在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。 科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。二、数学的发展史每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。（一）、数学发展史简述1、古代数学史：古希腊曾有人写过几何学史，但未能流传下来。5世纪普罗克洛斯对欧几里得几何原本第一卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。2、中国数学史：中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的律历志“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的汉书律历志说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。隋书律历志记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史列传中，有时也给出了数学家的传记。正史的经籍志则记载有数学书目。在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注九章算术序 (263)中曾谈到九章算术形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为四元玉鉴所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本数术记遗之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位算法统宗(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：对古算书的整理和研究，算经十书(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(17241777)、李潢(?1811)、阮元（17641849）、沈钦裴(1829年校算四元玉鉴)、罗士琳(17891853)等人 编辑出版了畴人传（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(17951799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作畴人传三编（1886），黄钟骏又作畴人传四编(1898)。畴人传，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美13。3、数学史研究内容：数学史研究方法论问题；数学史通史；数学分科史；不同国家、民族、地区的数学史及其比较；不同时期的断代数学史；数学家传记；数学思想、概念、数学方法发展的历史；数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；数学教育史；数学史文献学。4、高等数学的发展：高等数学开始的内容是极限。其实人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了2000多年的时间，一直到了牛顿和莱布尼茨的时代(17世纪)，才有了比较明确的极限概念。我们知道微积分是牛顿和莱布尼兹共同发现的他们使用的工具就是极限，但是他们对极限的认识还不深刻。因此他们的理论也是非常的不严密的。我们所熟知的极限定义语音则是在牛顿身后几百年才由魏尔斯特拉斯提出的。尽管牛顿和莱布尼茨创立的微积分还是不很严密但是它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在l7世纪上半叶，微积分的先驱们沿着不同的方向向微积分大门逼近但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。这些先驱们对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。需要有人站在更高的高度将以往个人的贡献和分散的努力综合成统一的理论，牛顿和莱布尼兹完成了微积分创立种最后也是最关键的一步。自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础。这为函数的分析提供了有力的工具。有了极限的概念，就可以刻划函数的图形特征。刻划函数图形的一个很有用的工具就是一个特殊的极限 导数。有了导数，就可以更好的刻画函数的单调性，凹凸性，就可以刻画函数的切线。而作为沟通函数与其导数的关系的中值定理，教材上更是以很大篇幅来讲述。对于这几个中值定理，教材上更给出了完美的论述和证明，但我们必须明确，从罗尔定理到拉各朗日定理用了5O年以上的时间，而从拉各朗日定理到柯西定理又用了50多年的时间。我们的教材在使学生惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是我们必须让学生清楚数学并不是我们从教材上看到的那样逻辑严谨和严密。它也是在数学的发展史中一点一点发展起来的。有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。（二）、数学悖论与数学史上的三次危机数学这门学科始终围绕着数与形而展开。在人类文明的早期，人们开始认识自然数、整数、有理数，正方形、三角形、一般直线形以及特殊的曲线形如圆、椭圆、抛物线等。数与形已有初步的结合。随着文明的进一步发展，人们又认识了无理数、复数乃至于一般抽象集合的元素，而对形的认识，则经历了从可度量的曲线形到一般的图形或空间点集。代数与几何有了更密切的结合。数与形经历了从有限到无限的过程，最终归结为集合，使集合论成为现代数学的基础。然而数学的发展并非一帆风顺，而是处处充满了危机。所谓危机，是事物的一种已激化的非解决不可的矛盾，它深刻影响着事物的运动、变化与发展。数学虽然以精确严密著称，但矛盾无处不在，例如正数与负数，有理数与无理数，有限与无限，连续与问断，微分与积分，等等。当数学中的矛盾激化到影响数学的基础时，即产生数学危机。每消除、解决一次数学危机，都会极大地促进数学的飞跃与发展。数学在其发展过程中，经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景，分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用，对我们了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。在介绍三次数学危机之前，首先解释一下悖论。什么是悖论? “悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。简单地说，悖论往往表现为这样的命题：如果认为它真，则可以推出它为假；如果认为它假，则可以推出它为真。从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，其存在具有客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。悖论常常以逻辑推理为手段，深人到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。科学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。1、第一次数学危机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。这个悖论表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量表示出来，为此整数的权威地位开始动摇，而几何学的地位开始升高了。第一次数学危机揭示了无理数的存在，涉及到了无限与无限过程，遗憾的是，古希腊人并没有马上认可无理数，而是将其归结为几何量之比，对无限也是敬而远之。大约在一个世纪之后，才由毕达哥拉斯学派成员的学生欧多克斯(Eudoxus)提出新的比例理论而暂时消除危机。尽管这样，第一次数学危机给人们警示：直觉与经验并不可靠。只有通过推理证明了的结论才是可靠的。从此，希腊的哲学家、数学家纷纷对宇宙展开理性的研究与讨论：伊利亚学派的芝诺(Zeno)提出了四个著名的悖论；德谟克里特(Democritus)建立了原子论；特别是稍晚的亚里士多德(Aristotle)，被称为古希腊百科全书式的人物，创立了古典逻辑学。这些理论极大地促进了演绎数学的发展。受柏拉图(Plato)、亚里士多德的影响，欧几里得(Euclid)首次在数学中运用公理方法撰写了几何原本等数学著作，建立了欧氏几何学，最终古希腊成就了初等数学的基本体系。同是，第一次数学危机使得数学家们正式研究了无理数，给出了无理数的严格定理，提出了一个含有有理数和无理数的新数类实数，并建立了完整的文数理论。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。其次，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在此时应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。2、第二次数学危机1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。法国数学家柯西通过分析教程(1821)、无穷小计算讲义(1823)、无穷小计算在几何中的应用(1826)这几部著作，建立起以极限为基础的现代微积分体系。但柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。该方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数等等。这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。3、第三次数学危机19世纪70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国数学家庞加莱宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，英国数学家罗素1902年提出了著名的“罗素悖论”：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即“理发师悖论”（理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则）。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系(ZFC系统)，在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。数学发展的历史表明每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了，新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们才不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。当代数学教学的现状调查及特点一、 学生数学学习情况的调查 课题组于2009年4月对安定区交通路中学七年级和九年级学生随机抽取了214名进行了“数学学习情况”的问卷调查（共发放问卷214份，收回答卷214份），试图通过此次调查了解学生的数学学习状况，找出现行数学教学中数学兴趣的缺失原因，同时对学生非智力因素的进一步研究，通过教师的学习、实践和积累，掌握素材，尝试通过教学方法的改变，以改变学生学习数学的态度和激发学生学习数学的兴趣，找到保持学生数学学习兴趣的方法，增强学生学习数学的主动性、创造性和协作精神，使学生达到乐学、想学、爱学的境界，也为教师更好地进行教学、教育研究、提高教育教学水平抛砖引玉。（一）、问卷和调查情况（附：调查问卷表）序号调查内容调查结果ABCD1开始学数学的时间36.8%40.4%16.7%6.1%2我在数学课上回答老师的问题的情况32.6%42.1%21.9%3.5%3数学课上当老师组织学生开展小组活动或竞赛时46.5%45.6%4.4%3.5%4能否用已学的数学知识解决简单的实际问题57.0%41.2%0.9%0.9%5在家里学习数学和应用数学57.0%34.2%6.1%2.6%6我的数学家庭作业情况是45.6%43.9%7.0 %3.5%7和所学的其他课程相比较，对数学这门课69.3%25.4%2.6 %2.6%8和所学的其他课程相比较，我认为数学这门课35.1%50.0%10.5%4.4%9我认为要学好数学，主要取决于58.8%12.3%23.7%5.3%10和所学的其他课程相比较，在数学上所花的时间27.2%44.7%26.3%1.8%11我认为有些学生（或自己）没学好数学的主要原因是61.4%14.9%17.5%6.1%12我学习数学的主要目的是46.5%42.1%5.3 %6.1%13我认为学习数学最困难的是40.4%42.1%5.3 %12.3%14在数学课上不举手回答问题的原因是14.9%47.4%5.3 %32.5%15我每天完成数学作业的情况是51.8%43.9%3.5 %0.9%16我如果认真努力去学的话，我把数学66.7%27.2%3.5 %2.6%17如果都努力去学的话我们班学好数学的人占总数的68.4%18.4%8.8 %4.4%18我认为我们班头脑笨，干脆学不好数学的人62.3%25.4%7.9 %4.4%19每天上完数学课后如果没有老师和家长的督促检查60.5%13.2%5.3 %21.1%20我认为老师应该7.9%15.8%42.1%34.2%21我家里26.3%45.6%28.1%22我在城里或附近63.2%12.3%20.2%4.4%23我的家长过问我的数学学习情况43.9%31.6%17.5%7.0%24我认为老师给我们布置的数学作业9.6%78.9%8.8 %2.6%25建议老师帮学生学好数学时采取的最好办法是36.0%3.5 %21.1%39.5%（二）、对调查结果的分析1、问题1、3、7、8、9反映学生的数学学习兴趣问题1：我从（ ）开始学习数学，有36.8%的学生选择幼儿园开始，有40.4%的学生选择了一年级开始，16.7%的学生选择幼儿园以前，6.1%的学生选择喜欢数学老师起，说明大部分学生对数学的认识与学习时间还是比较早的。问题3：数学课上当老师组织开展小组活动或竞赛时，有46.5%回答积极参加，争取取胜，有45.6%回答基本能参加，不够积极，只有少部分人的回答是不想参加，说明学生的数学学习积极性比较高，大部分学生有学好数学的愿望。问题7：和所学的其他课程比较，我对数学这门课有69.3%的学生回答喜欢或很喜欢,还有25.4%的学生回答有时喜欢,只有少数学生回答不喜欢或不知道,只分别占2.6%,这个结果说明对数学不感兴趣的人通过一定的外部作用可以帮助他们提高数学兴趣。问题8：和所学的其他课程比较，我认为数学这门课有35.1%的学生回答容易学，有50%的学生回答不容易也不难，又有10.5%的学生回答难学，而只有4.4%回答不知道，可见大部分同学对数学的学习兴趣和学习态度是很好的，我们当老师的也就有信心教好这门课程了。问题9：我认为要学好数学，主要取决于有58.8%的学生回答正确的态度，刻苦钻研，只有12.3%的学生认为头脑是否聪明，有23.7%回答是否掌握了好的学习方法，5.3%的学生则回答老师讲的是否好，可见态度决定一切。总体看来，学生的学习兴趣是比较浓的，只要我们抓住机遇，不喜欢数学的学生会越来越少，同时由于有教深的数学体验，相信学生会更喜欢数学的。2、问题2、4、5反映的是学生的问题意识问题2：我在数学课上回答老师的问题情况有32.5%的学生回答主动积极，基本正确，有42.1%的学生回答不主动、老师点名才回答，有21.9%的学生回答怕错不敢回答，有3.5%的学生回答不会、不回答，说明尽管学生喜欢数学，但应用数学的能力有待进一步提高。问题4：我能否用已学数学知识解决简单的实际问题有57%的学生回答能，又有41.2%的学生回答基本能，只有个别学生回答不会，说明学生的问题意识比较强。问题5：在家里学习数学、应用数学，有57%的学生回答经常用一定的时间，有34.2%的学生回答有时或偶尔，又有6.1%的学生回答没有人管，而有2.6%的学生回答从来不，反映了少部分学生的懒惰意识和自觉性不是很强。总体看来，学生的问题意识在增强，但学生应用数学的意识需要老师进一步加强，要教会他们应用数学解决实际问题的方法和技巧。3、问题6、13反映学生的数学学习效果问题6：数学家庭作业情况有45%的学生回答认真完成，基本正确，有43.9%的学生较认真，有时错误较多，而有7.0%的学生回答质量一般，有时拖拉，有3.5%的学生回答不做家庭作业，说明学生学习时的自控能力有待于进一步加强。问题13：我认为学习数学最困难的是有40.4%的学生回答太难、太抽象、不理解，有42.1%的学生回答计算较繁，有5.3%的学生回答看图、画图太复杂，又有12.3%的学生回答方法不好，不爱学，说明部分学生学好数学的信心不大。总体看来，学生的数学学习有两级分化的趋势，学习效果令人担忧，如果教师不及时开导教育，这部分学生可能会放弃学习。4、问题10、15、19反映学生的学习时间和学习自觉性问题10：和所学的其他课程相比较，在数学科上所花的时间其中27.2%的学生回答最多，44.7%的学生回答和有些课一样多，26.3%的学生回答很少，还有1.8%的学生回答除课堂外再不花时间，说明数学学习并没有占用学生的大部分时间，这也正是我们所希望的。问题15：我每天完成数学作业的情况有52.8%的学生是自己独立思考，43.9%的学生是和别人讨论或请教别人，3.5%的学生是直接抄袭别人的或拖拉不交，0.9%不做作业，说明大部分学生的学习自觉性比较强，能积极主动地学习。问题19：每天上完数学课后，如果没有老师和家长的督促、检查其中60.5%的学生仍能按照自己的计划,及时地去做练习,去复习、巩固老师要求掌握的知识，13.2%高兴了去做，不高兴了不去管，有5.3%的同学不去管它，有21.1%有时间了去做，没时间了不管。说明大部分学生学习数学是自觉的，但又有一部分学生的学习并不自觉，等有时间了才来学习数学。总体看来，绝大多数学生的自主学习意识逐渐加强，他们都有信心把数学学好，但有一部分学生的学习就需要教师、家长督促才能完成。5、问题11、12、14、16、17、18反映学生的数学学习态度问题11：我认为有些学生没学好数学的主要原因是有61.4%的学生认为自己不爱学也不认真学，14.9%的学生认为头脑笨、学不会，有17.5%的学生认为是基础差、不爱学，又有6.1%的学生回答是不想学。说明现今学生的学习态度不够端正。问题12：学习数学的目的有46.5%的学生认为数学很流行,学会了数学,有了知识能解决我们生活中的问题，其中42.1%的学生则认为学好数学对将来就业、升学有利，5.3%的学生是为了完成老师布置的任务或达到家长的要求，还有6.1%的学生不知道什么目的。说明有10%左右的学习数学没有目的性。问题14：有些学生在数学课上不举手回答问题的原因是什么，其中14.9%的回答是不理解题目不知道法则，不知道怎么回答，有47.4%的学生认为是害怕答的不准、不对而被学生笑话，5.3%的学生是没听讲，不会，又有32.5%的学生是想回答，但不敢举手，说明学生在学习中还是不大胆，学习被动、疲于奔命，临场中联想不到所需知识，能力有待于进一步提高。问题16：如果认真努力去学的话，我把数学有66.7%的学生回答会学好（或学得更好），有27.2%的学生回答能学好，有3.5%的学生回答学的一般，有2.6%的学生回答永远学不会，说明大部分学生对学好数学有足够的信心，只要我们引导好，数学成绩会更好的。问题17：如果大家都努力去学的话，我认为我们班能学会数学的人占总数的百分数有68.4%的学生回答80%以上，18.4%的学生认为占70%以上，8.8%的学生认为占60%以上，4.4%的学生认为只占50%以上，说明绝大多数学生对数学的认知水平还是比较高的。问题18：我认为我们班头脑笨，干脆学不会数学的人62.3%的学生回答是没有，25.4%的学生回答有5%左右，其余则回答不到20%，说明大多数学生是有信心把数学学好的。总体看来，学生学习数学的态度比较好，多数学生自主探究意识、自主学习意识越来越强，但自控能力不断减弱，思维不够灵活。6、问题20、24、25反映教师的教学方法问题20：我认为老师应该7.9%的学生回答主要传授数学知识，15.8%的学生认为多让他们自己练习，42.1%的学生认为传授数学知识的同时交给他们学习数学的方法，34.2%的学生认为把传授数学知识、交给他们学习方法于做思想工作结合起来，说明学生的认识是明确的，教师教给学生数学知识的同时必须教给他们学习数学的方法。问题24：我认为老师给我们布置的作业有9.6%的学生认为量太大，78.9%的学生回答量适中，8.8%的学生认为量小，2.6%的学生回答没布置，说明学生基本能接受数学课后的作业练习。问题25：有些学生在思想上认识到了学习数学的重要性，也想把数学学好，但就是有良好的愿望也没有实际的行动（说来容易做来难），不能自觉地、主动地去学，为了有效地解决这一问题，建议老师应采取的最好方法是36%的学生回答做好思想工作，及时督促、检查，有3.5%的学生建议批评教育，采取适度的惩罚，21.1%的学生建议与家长联系、加强监管、引导养成习惯，39.55%的学生则认为应该以上方法交替使用，学生的建议给了我们很好的教育方法。总体看来，教师应该多和学生交流，用爱心引导教育学生，培养学生良好的情感、积极的态度、正确的人生观和价值观，尽可能满足学生的心理需求，这样才能帮助学生学好数学。7、问题21、22、23反映学生的家庭因素 问题21：我家里26.3%的学生父母都工作，45.6%的学生父亲或母亲工作，28.1%父母去打工或在家务农，说明城区学生的家庭情况并不是完全相同，老师应该多了解学生，对症下药。问题22：我在城里或附近63.2%有自己的房子，并和父母住在一起，12.3%有自己的房子，并和爷爷奶奶住在一起，20.2%租房和父母住在一起，4.4%租房单独住，说明学生的学习和生活条件各不相同，有部分学生学习时家长的督促并不能到位。问题23：我的家长过问我的学习情况有43.9%的学生回答经常，有31.6%的学生回答每隔一段时间，有17.5%的学生回答偶尔，有7.0%的学生回答从来不，说明大多数学生家长对学生的学习是重视的，但有及少数学生家长并不关心学生的学习，因此没有培养好他们良好的学习习惯。总体看来，家长经常性地与学生交谈数学问题，能有效地提高子女学习数学的兴趣，如果家长能够营造一个良好的学习氛围，能显著提高学生对数学学习的兴趣和知识性。（三）、思考与建议1、数学教学中取得的成绩与不足尝试教学法实施以来取得的成绩有：学生的