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工程电磁场 电信教研室 苑东伟 第三章 静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场 31 恒定电场的基本方程与场的特性 1恒定电场的基本方程无散无旋场 在恒定电流场中，我们将讨论Jc和E，而不再是D和E。 电流场中的任意闭合面内不可能有自由电荷增减的变化，即 。对于导电媒质中的恒定电流场，由任意闭合面净流出的电流应为 零；或者说，传导电流连续。 （在无源区） 导电媒质中（电源区域外）恒定电场具有无散无旋场。 E = 2 = 0 拉普拉斯方程 引入标量电位函数 (r)作为辅助场量 例3-1：设一扇形导电片， 如图所示，给定两端面电 位差为U0。试求导电片内 电流场分布及其两端面间 的电阻。 图 扇形导电片中的恒定电流场 解：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问 题为： 故导电片内的电位 ： 电流面密度分布为： 厚度为t的导电片两端面的电阻为： 2电功率 在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示 。该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的（E，F不变）， 其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt时间内有 dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为： dW =Fdl=Edl dq= dU dq 图 电功率的推导 外电源提供的电功率为： 故恒定电流场的电功率体密度： p = EJ （E、J方向一致，焦耳楞次定律的微分形式 P=UI） 3不同媒质分界面上的边界条件 类同于静电场的讨论 D2n-D1n= E1t = E2t （1）两种不同导电媒质分界面上的边界条件： J1n= J2n en(J2J1)=0 E1t= E2t en(E2E1)=0 对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静 电场的折射定律。 图 由良导体(1)到不良导体(2)的电流流向 P 1 J2 en 2 J1 2 1 （2）良导体与不良导体分界面上 的边界条件： 当电流从良导体（比如：铜）流向不 良导体（比如：土壤）时，如图所示 ，设 1 2，即 只要1 90，就有2 0。这表明，当电流由良导体侧流 向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(20)。 不计良导体内部的电压降（电场强度仅有E2n），把良导体 表面可近似看作为等位面。 接地器：钢的电导率为 5 106 s/m，土壤为10-2 s/m ，所以， 1=89。59 ， 2=8 0 （3）导体与理想介质分界面上的边界条件： 图 输电线电场示意图 + + + + + U E2t E2n E2 E2 E2t E2n Jc1 Jc1 1 2 图 两种有损电 介质的分界面 P J2 J1 2, 2 1, 1 （4）两种有损电介质分界面上的边界条件（高压大容量设 备：电缆、电容器）： 介质内有漏电流存在（如：被击穿），介质既有电容特性， 又有电导特性。 E1t= E2t 只有当两种媒质参数满足 条件时，=0 例3-2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如 图所示。其介电常数和电导率分别为1，1和2，2，厚度分 别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略边缘效应。试求：(1)两 层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密 度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密 度。 图 非理想介质的平板电容器中的恒定电流场 2, 2 1, 1 U0 d2 d1解：本例中既有静电场特性（ we，），也有恒定电流场特性（ p, ）。 (1) 忽略边缘效应，可以认为电 容器中电流线与两介质交界面相 垂直，用边界条件 1静电比拟 将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内 的静电场相比较 均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场 2 = 02 = 0 32 恒定电场与静电场的比拟.接地系统 l对应的物理量 静电场电场 （ ） ED qC 恒定电场电场EJ IG n只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电 场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位、 电场强度E和电位移矢量D的分布相一致（静电比拟法 ）。 两种场在分界面上的Jc 线与对应的D线折射情况相同 可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。 静电比拟：由以上的相似原理，可以把一种场的计算 和实验结果，推广应用于另一种场。 电流场模拟的方法 例3-3：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示 导体间外施电压U0。试求其因绝缘介质不完善而引起的电 缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。 （1）解法一：恒定电场分析法 电场强度E和泄漏电流密度Jc均 只有径向分量，作一半径为的 同轴单位圆柱面，且令l长泄漏 电流为I，则 图 同轴电缆中的泄漏电流 S B A P b , U0 o a Jc （2）解法二：静电比拟法 在同轴电缆分析中,已求得电场强度为 2接地电阻 接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施，为 电力系统正常工作提供了零电位基准参考点。计算接地体的 接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。 给定时刻工频交流电力系统场分布的分析方法与结论全同于静态场。 接地器：在工程上，为了接地，将金属导体埋于地内，将系统中 需要接地的部分与该导体相连接，这种埋入地内的导体系统称为 接地器。 如三相高压变压器中性点工作接地。 接地电阻：电流在流经大地时遇到的电阻，包括接地器本身的电阻、 接地导线的电阻、接地器和大地之间的接触电阻，以及两接地器之 间土壤的电阻。 下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得 ： 当ra时 (a) 电流线J的分布 (b) 镜象法图示 图 半球形接地器 土壤 土壤 aa i 2i 土壤 由良导体与不良导体边界面条 件，良导体球内部场强与外部 土壤场强相比很小，所以我们 可以把导体球看作等势体，当 ra) 2 场分布：基于矢量磁位 的分析 A与Jc，K，I的方向一致 图 长直载流导线的磁场 L B dA A o P(x,y,0) z Idz dz L x y z R 解：取圆柱坐标系，由于电流沿 z轴方向，故矢量磁位只有z方向分 量，即 当L 时，可表示为 例3-9：计算空气中长度为2L的长直载流导线在中截面上P 点的矢量磁位和磁感应强度。 l讨论：当L时A并不存在。其原因在于，在我们给出 的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分 布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。本例 不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考 点应选择在有限区域内的任意一点。（对比静电场中电轴的 参考点问题）。讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改 为： 式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。图 （3-21） 在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电 流I相距0的Q点为矢量磁位参考点，应有 例3-10：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离 为2b且远大于a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁 通量。 图 无限长直平行输电线 的磁场 Q o x y z I I A P (0,-b,0)(0,b,0) 1 2 02 01 解：本例为平行平面磁 场，故只需计算xoy平面 中任一场点P处的矢量磁 位即可。设矢量磁位参考 点位Q，则P点的矢量磁位 A为 为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁 位参考点选在原点上，则01 = 02，得 借助矢量磁位求磁通 磁耦极子 电子绕核运动，形成小的电流环形电流，从而对外产生磁场。 例3-12：求图示半径为a的载流小圆环（磁耦极子）在远处 （ra）的矢量磁位和磁感应强度。 解：采用图示球坐标系。定义 为磁耦极子的 磁偶极矩（类比于电偶极子中电偶极矩的定义p=qd），简称磁矩 。 M Q P1 m p； 0 1/0。这说明磁矩在远区产生的磁力线 与电矩在远区产生的电力线分布形态相同。其中一个基本差别 就是：磁力线自身闭合。 矢量磁位的双旋度方程 引入库仑规范： 矢量形式的泊松方程 在无源区中，Jc = 0，则上式成为矢量拉普拉斯方程 Jc与A同向 4磁场线 与电力线类似，磁力线上任一点的B与该点上的切向一致。磁 力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为 Bdl=0 设Jc =J ez，则A = Aez。由B=A，得 代入磁力线方程，得 dA = 0 A=常量 垂直于A （1）平行平面磁场： l在平行平面磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）且等A线 的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即（图3-27 ） （2）轴对称磁场 ： 在圆柱坐标系下，B线满足的微分方程为 设Jc=Je，则A=Ae。由B=A，得 A=常量 在轴对称磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）。 35 媒质中的磁场 1媒质磁化 图 磁化媒质建立的磁场 磁化强度矢量： 束缚电流密度：媒质被磁化后产生的净磁矩，也可看作是 在媒质中出现等效的宏观束缚电流，即所谓的磁化电流的 结果。（类比于静电场中的束缚电荷，即极化电荷） 磁化体电流密度Jm=M 磁化面电流密度Km= Men 2磁场强度 媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。因 此，总的磁场是在真空中电流源 Jc 和磁化电流 Jm 共同建立 的合成磁场 。 定义磁场强度 H 积分形式：一般形式的安培环路定律 磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算， 磁导率 实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即 M=mH m 称为磁化率，可正可负，所以M也是可正可负的。 B=0 (H + M) = 0 (1+m)H =(1+m)0 = r 0 B=H 称为媒质的磁导率，单位是亨/米 (H/m)，r为相对磁导率。 根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型： (1)抗磁性媒质：m 0，当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合 成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外磁 场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨 、铂和钯等属顺 磁性媒质。 (3)铁磁性与亚铁磁性媒质：m 0，这类媒质在外磁场作用下会发 生显著的磁化现象。在外磁场作用下产生显著的磁性，如铁、镍、钴 等属这类铁磁性媒质(r 1)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非 线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为亚铁磁性媒质，如铁氧体等，其 磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。 l铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广 泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用 需求。 l铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有 如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波器 件中获得广泛的应用。 n 媒质磁化性能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向 同性与各向异性等特点。 对于均匀媒质 Jm=M = (mH) = m H =0 （无源区） 可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零，而Km不为零。即在宏 观体积表面表现出宏观的磁化束缚电流，但是在体积内部则没 有磁化体电流密度。 3不同媒质分界面上的边界条件 （1）媒质分界面上的边界条件： B=0，有B1n= B2n 或 en ( B2 - B1) =0 在两种媒质分界面上的磁感应强度 的法向分量是连续的。 H=Jc设分界面上存在面电流K=Kes( 该面电流密度的单位矢量es=enet， 且与矩形回路l符合右手定则) H2t-H1t =K 或 en( H2 - H1) = K 通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K = 0，（但 是有束缚磁化电流面密度），则有 H1t=H2t 或 en( H2 - H1) = 0 当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为 （2）铁磁媒质的边界条件： 设1 2，由恒定磁场折射定律，必有20，即 B1n= B2n； H1t=H2t 0 B=H，当，B保持连续，则H0 这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎 垂直于铁磁表面。（类似于良导体与不良导体或者介质 的边界条件） （3）矢量磁位表达的边界条件： A1= A2 4场分布：基于场量H的分析；边值问题；镜象法 例315：在图示含气隙的环形铁芯 上紧密绕制N匝线圈，环形铁芯的磁 导率为 0，圆环的平均半径 为R，线圈半径为a a，铁芯内磁场分布均匀。由于气隙宽度 d R，可进一步简化为： 考虑内自感，则两线传输线的自感为： 2互感 在线性媒质中，线圈h对线圈k的互感定义为线圈k上交链的 互磁链kh（由 Ih 产生）与线圈h的电流 Ih 之比，即 线圈k对线圈h的互感定义为 我们可证明 Mkh = Mhk 两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质 的磁导率。 例3-21：计算图示两对输电线间的单位长互感。 图 两对传输线间 的互感 P162，图3-39 解：设导线之间的距离DAC、DAD、 DBC和DBD均远大于导线半径。设在导 线AB（回路1）通有电流I，在导线 CD（回路2）交链的互磁通穿过面 积CD和面积CD，即 单位长互感为 3. 线形回路的电感 dl dl l l r I外磁链 ： 外自感为 ： 两个线型回路间的互感： dl1 l1 dl2 l2 I2 r P 电流I2 在P处产生的矢量磁位为 与回路1相交链的互感磁链为 于是 同理可得 可见 诺以曼公式 37 磁场能量 1载流回路系统中的磁场能量 单个载流回路的磁场能量： 在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为： n个载流回路的磁场能量为 在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链 k 可表示 为自感磁链和互感磁链之和， 各载流系统 内的互有能 各载流系统 内的固有能 I为各载流回路电流列向量，L为载流回路电感矩阵 。 磁场能量分布于整个磁场空间中。（静态）磁场能量的体密度为 2磁场能量密度 例3-23 计算同轴电缆每单位长度内 的磁场能量。设电缆载流为I ，内、 外导体半径分别为a和b，绝缘层为空 气，且忽略外导体厚度 。 a 解：已知同轴电缆单位长度 的