《高等数学换元法》PPT课件.ppt

教学目的：不定积分换元法 教学重点：凑微分法 教学难点：第二类换元法 第二讲 换元法 主视图 换元法 凑微分法 第二类 换元法 一次式的 有理根式 二次式的 二次根式 凑微分公式 问题 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程令 换元 换元以后再还原 求导数验证结果 凑微分法 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 定理1 难 易 凑微分法 证明 证由复合函数求导法则有 可见 )(xFj 是 )()(xxfjj 的一个原函数，故公式(1)成立 公式（）说明：当积分 不便计算时，可考虑将 g(x)化为的形式，那么 = duufxdxfdxxxfdxxg)()()()()()( jjjj (2) 对 u 积分求出 )(uf 的原函数 )(uF ，再以 )(xuj= 代回即得 所求积分，这种方法称为凑微分法 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例题 例2 求 解 一般地 例题 例3 求 解 例题 例4 求 解 例题 例5 求 解 例题 例6 求 解 例题 例7 求 解 例题 例8 求 解 例题 例9：求 解：原式 例题 例10：求 解：原式 解：原式= 例11: 例题 例12 求 解 例题 例13 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分. 例题 例14 求 解 例题 例15: 求 解（一） 例题 解（二） 类似地可推出 例题 思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积 思考 解 例16 设 求 . 令 例题 例17 求 解 换元积分法技巧性强，需要多作练习， 不断归纳，积累经验，才能灵活运用 例题 通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式： 凑微分公式 +=+)()( 1 )(baxdbaxf a dxbaxf )0 ( a ； +=+)()( 2 1 )( 222 baxdbaxf a xdxbaxf； )0 ( a = xxxx deefdxeef)()( ； =xdxf x dx xfln)(ln)(ln ； -=xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos； ； ； ； 凑微分公式 回主视图 问题 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 再用“凑微分” 难易 第二类换元法 证：只要证右端的导数等于左端的被积函数 定理2 由复合函数与反函数的导数，有 第二类换元法 第二类积分换元公式 注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）； 代换 x=(t)，一起换。 利用第二类换元法求不定积分的关键 在 于选择适当的变量代换第二类换元法常用 于求无理函数的积分. 注意 被积积函数含有根式 解: 注:一般地说，当被积函数含有形如: 的根号时，可作代换 有理根式积分 解: 设 ，于是 该例可利用凑微分法求解，而且更简洁： 例题 被积积函数含有或 例18 : 求 解: 被积函数含有 ,为此可令 化去根式 此时 于是 二次根式 由于 ，故 故 t a x 也可用图解法(右图)直接得到: 例题 例19 求 解 令 例题 例20: 求 解 令 例题 例18 求 解 令 例题 说明(3) : 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 说明(2) 例19 求（三角代换很繁琐） 令解 例题 例20 求 解 令 例题 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令解 例题 例22 求 解令 （分母的阶较高） 例题 倒代换: 例题 本节得到的一些积分结果常作公式使用 扩充积分公式 习题 42 1 填空： 习题 3 设 ，求 4 求下列不定积分： (1) (2) (3) (4) (8) (7) (6) (