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第五章 不定积分 5.1不定积分的概念和性质 5.2基本积分表 5.3基本积分法 5.4有理函数及三角函数有理式的积分 （约8学时） Date 问题: 求导运算是否有逆运算? 它的逆运算是什么？ 讨论其逆运算的意义何在？ 2、已知曲线，求它的切线的斜率。 如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度， 即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数； 已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是 一种形式运算，在实际应用中是很有用的。 例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度; 我们把求导的逆运算称为不定积分。 Date 微分学 积分学 -两个相反的问题 Date 一、原函数（反导数）的定义 定义1 设 定义在区间I上, 若存在函数 , 有 5.1 不定积分的概念和性质 则称 是已知函数 在该区间I上的一个原函数（反导数）。 例 设(x) = cos x, 则F(x) = sinx, sinx1, , sinx+C. 1.原函数存在的条件? 2.原函数的个数? 3.不同的原函数之间的关系? 问题: Date 定理1 若函数(x)在区间I上连续, 则(x)在区间I上的原函 数一定存在. (证明略) 定理2 设F(x)是函数(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数(x)的原函数。 证 因 证 由拉格朗日中值定理得推论知 定理3 设F(x)和G(x)都是函数(x)的原函数, 则 F(x) G(x) C (常数) Date 注: 当C为任意常数时, F(x)是(x)的一个原函数, 则表达 式 F(x) + C 可表示 (x) 的任意一个原函数, 即：(x) 的全 体原函数所组成的集合， 就是函数族: Date 结论: 若F(x)是函数(x)的一个原函数, 则 其中 称为积分号, (x)称为被积函数, x称为积分变量, (x)d x 称为被积表达式。 “”亦由莱布尼兹所创，它是德语中 “总和”Summe的第一个字母s的伸长。 定义2 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分。 二、不定积分的定义 C为任意常数, 并称C为积分常数。 记为 Date 例1 求下列不定积分 Date 例2 已知 的一个原函数是 , 求常数k. （1）求不定积分就是被积函数的一个原函数 . （2）不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不 要忘记积分常数C. （3）求不定积分的方法称为积分法. 说明： Date 例3 F(x)是f(x)的一个原函数，满足 证 由 知 (a, b为常数且a0) . Date y = F(x )函数(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形是 (x)的一条积分曲线; 而 是(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图 形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是: (1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x)沿y轴平行 移动|c|个单位而得到. (如图)当c0时, 向上移动; 当c0时, 向下移动. ox y x y=F(x) |c| 三、不定积分的几何意义 Date ox y x y=F(x) (2) 即横坐标相同点处, 每条积分曲线上 相应点的切线斜率相等, 都为(x) . 从而相应点的切线相互平行. 注 :当需要从积分曲线族中求出 过点 的一条积分曲线时, 则只须把 代入y = F(x) + C中解出C即可. Date 例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标 的倒数, 且过点 求此曲线方程。 解 设所求曲线为 y = (x) , 则 故所求曲线为 y = ln|x| + 2 Date 性质1 四、不定积分的性质 证明： 注: 微分运算与积分运