高中数学课件圆的一般方程.ppt

4.1.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程的形式，熟练掌握圆的两种方程的互化. 2.会用待定系数法求圆的一般方程. 3.了解几种求轨迹方程的方法. (1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化为标为标 准方程为为_ _. (2)条件：_,圆圆心为为_,半径为为 _. 特别别地,当D2+E2-4F=0时时,方程表示点：_. 当D2+E2-4F0 不表示任何图图形 1.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打 “”). (1)平面内任一圆圆的方程都是关于x,y的二元二次方程.( ) (2)圆圆的一般方程和圆圆的标标准方程可以互化.( ) (3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆圆.( ) (4)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆圆,则则E0.( ) 提示：(1)正确.因为 可化为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,均是关于x,y的二元二次方程. (2)正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化. (3)错误.少了条件D2+E2-4F0. (4)正确.因为D2+E2-4F=4+E2-40,则E0. 答案：(1) (2) (3) (4) 2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线 上). (1)圆圆的标标准方程(x-1)2+(y-3)2=1化为为一般方程为为 . (2)若圆圆的一般方程为为x2+y2+4x+2=0,则圆则圆 心坐标为标为 , 半径为为 . (3)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆圆的方程,则则m的取值值范围围是 . 【解析】(1)因为(x-1)2+(y-3)2=1,所以x2+y2-2x-6y+9=0. 答案：x2+y2-2x-6y+9=0 (2)因为x2+y2+4x+2=0化为标准方程为(x+2)2+y2=2, 所以圆心为(-2,0),半径为 . 答案：(-2,0) (3)因为方程x2+y2-x+y+m=0表示圆的方程, 所以(-1)2+12-4m0,所以m0,通常情况下先配成(x- a)2+(y-b)2=m,通过观察m与0的关系,说明方程是否为圆的一般 方程,而不要死记条件D2+E2-4F0. 类型 一 二元二次方程与圆圆的关系 尝试尝试 完成下列题题目,归纳归纳 一个关于x,y的二元二次方程表 示圆圆的两种判断方法. 1.(2013晋江高一检测检测 )方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图图形是 ( ) A.以(1,-2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆 B.以(1,2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆 C.以(-1,-2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆 D.以(-1,2)为圆为圆 心, 为为半径的圆圆 2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆圆?若能表示圆圆,求 出圆圆心和半径. 【解题指南】1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心 与半径. 2.本题可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配 方,看右端是否为大于零的常数. 【解析】1.选D.将方程x2+y2+2x-4y-6=0 化为(x+1)2+(y-2)2=11, 因此,圆心为(-1,2),半径为 . 2.方法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, 所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此, 当m=2时,D2+E2-4F=0,它表示一个点,当m2时,D2+E2-4F0, 原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为 方法二：原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此, 当m=2时,它表示一个点, 当m2时,原方程表示圆的方程. 此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r= |m-2|. 【技法点拨】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过 配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是 否为正,确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时, 务必注意x2及y2的系数. 类型 二 圆圆的一般方程的求法 通过过解答下列求圆圆的一般方程的题题目,试总结试总结 用待定系数 法求圆圆的一般方程的步骤骤及两种方程形式选择选择 的标标准. 1.过过点(-1,1),且圆圆心与圆圆x2+y2-6x-8y+15=0的圆圆心相同的圆圆 的方程是 . 2.已知一个圆过圆过 P(4,2),Q(-1,3)两点,且在y轴轴上截得的线线段 长为长为 ,求圆圆的方程. 【解题指南】1.根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出 的方程求解. 2.设出圆的一般方程,由圆过P,Q两点可得两个方程,再根据圆 在y轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出 圆的方程. 【解析】1.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由已知该圆圆心为(3,4),且过点(-1,1), 故 所以圆的方程为x2+y2-6x-8y=0. 答案：x2+y2-6x-8y=0 2.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令x=0,得y2+Ey+F=0. 由已知|y1-y2|=4 ,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两根, 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48. 将P,Q两点的坐标分别代入方程, 得 解联立的方程组,得 故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或 【互动探究】若题2条件不变,试判断原点(0，0)与圆的位置 关系. 【解析】(1)若圆的方程为x2+y2-2x-12=0, 因为02+02-20-12=-120, 所以原点(0，0)在圆内. (2)若圆的方程为 因为 所以原点(0,0)在圆外. 【技法点拨】1.待定系数法求圆的方程的三个步骤 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组. (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 2.对圆的一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的 坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待 定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的 一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F. 提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时,常设圆的标准方程; 条件与点有关时,常设圆的一般方程. 【拓展类型】与圆圆有关的轨轨迹问题问题 试试着解答下列题题目,体会求轨轨迹方程的一般步骤骤及常用 方法. 1.(2013惠州高二检测检测 )若RtABC的斜边边的两端点A,B的坐 标标分别为别为 (-3,0)和(7,0),则则直角顶顶点C的轨轨迹方程为为( ) A.x2+y2=25(y0) B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y0) D.(x-2)2+y2=25 2.已知ABC的边边AB长为长为 4,若BC边边上的中线为线为 定长长3,求顶顶点C 的轨轨迹方程. 【解题指南】1.根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的 一半求解. 2.建立适当的坐标系,易知C不能在AB上,设BC中点为点 D.C,B,D三点为相关点,利用代入法(也称相关点法)求解. 【解析】1.选C.线段AB的中点为(2，0)，因为ABC为直角三 角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为 |AB|=5,所 以点C(x,y)满足 =5(y0),即(x-2)2+y2=25(y0). 2.以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则 A(-2,0),B(2,0),设C(x,y), BC中点D(x0,y0). 所以 因为|AD|=3,所以(x0+2)2+ =9， 将代入,整理得(x+6)2+y2=36. 因为点C不能在x轴上，所以y0. 综上，点C的轨迹是以(-6,0)为圆心，6为半径的圆， 去掉(-12, 0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y0). 【技法点拨】1.用代入法求轨迹方程的一般步骤 2.求轨迹方程的几种常用方法 (1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系, 直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如 圆等),可用定义直接求解. (3)相关点法：根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点 的轨迹方程. (4)参数法：若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变 化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程. 【变式训练】(2013珠海高二检测)两直线ax+y=1与x-ay=1 的交点的轨迹方程是_. 【解题指南】分x0且y0和x=0且y=0求解. 【解析】当x0且y0时，两直线方程化为 所以 化为x2+y2-x-y=0.当x=0且y=0时满足上式， 故交点的轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 答案：x2+y2-x-y=0 1.圆圆x2+y2-4x+6y=0的圆圆心坐标标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 【解析】选D.圆的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,故 圆心坐标为(2,-3). 2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆圆( ) A.关于x轴对轴对 称 B.关于原点对对称 C.关于直线线x-y=0对对称 D.关于直线线x+y=0对对称 【解析】选D.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a2,圆心(-a,a). 由圆心坐标易知圆心在x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称. 3.点P(1,1)与圆圆x2+y2-2x+2y=0的位置关系是( ) A.在圆圆外 B.在圆圆内 C.在圆圆上 D.不确定 【解析】选A.因为12+12-21+21=20, 所以点P在圆外. 4.方程x2+axy+y2+bx+ y+7=0是圆圆的一般方程,则则a=_; b的取值值范围围是 . 【解析】要使方程表示圆的一般方程，需 答案：0 (-,-5)(5,+) 5.若圆圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线线l：ax+4y-6=0对对称,则则直线线l 的斜率是 . 【解析】圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y-6=0对称,则 直线l通过圆心(3,-3), 故3a-12-6=0,解得a=6,故斜率k=- . 答案：- 6.判断下列二元