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第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算与初 等函数的连续性 1 一、四则运算的连续性 还记得函数极限的四则运算吗? 2 定理1 例如，我们已证 3 反函数的连续性反函数的连续性 y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f 1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 4 定理2 单调的连续函数必有单调的连续反函数 . 例如, 结论：反三角函数在其定义域内皆连续. 5 x y 1 1 Ox y 1 1 O 例如 6 证 定理3 则 7 在定理3 的条件下, 极限符号可与 连续函数符号交换顺序. 定理3的结论 例如 解 意义 8 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 问：这个条件有必要吗？ 定理4 答：这个条件不能少！ 9 u = cos x 1 是在定义域内 的定义域是一个孤立点集 D = x | x = 2k , kZ 从而, 函数在其定义域内的 但由它们构成的复合函数连续的函数, 每一点均不连
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