[中学教育]镇江冬令营平面几何思考题.doc

1给定ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，O1、O2分别是BDF、CDE的外心。AHBC于H，AH与AEF相交于R点，联结DR交O1O2于Q。求证：（1）Q是DR中点；（2）O1QQO2BHHC。2已知AD、BE、CF是ABC的内角平分线，直线DE、AB相交于M点，直线DF、AC相交于N点，O、I分别是ABC的外心和内心。求证：OIMN。3自圆O外一点P作圆O的两条切线PA、PD及割线PCB，AEBC于E，直线DE交圆O于另一点F，H是ABC 的垂心。求证：AFH=90。4已知P是ABC内任一点，AP、BP、CP分别交对边BC、CA、AB于点D、E、F，直线DE、AB交于Q，直线DF、AC交于P，M、N分别是PE、QF中点，O、H分别是ABC、DEF的外心和垂心。求证：OHMN。5平面上有不相等的两圆，当两个动点A和B分别沿两圆按逆时针方向作相同角速度的运动时，求证：（1）平面上存在一个定点P，使得PAB的形状始终保持不变；（2）平面上存在一个定点Q，使得QAB的面积始终保持不变。5平面上有不相等的两圆，当两个动点A和B分别沿两圆按逆时针方向作相同角速度的运动时，求证：（1）平面上存在一个定点P，使得PAB的形状始终保持不变；（2）平面上存在一个定点Q，使得QAB的面积始终保持不变。【证明】（1）记两圆的圆心分别为O1，O2，又设A0，B0是动点A，B在运动中某一时刻的位置。建立复平面并以各点的字母表示该点所对应的复数。由复数法易说明平面上存在一点P，使得PO1A0PO2B0：， P。对于A，B的其它任意位置，由于总成立AO1A0BO2B0，表明PAA0与PBB0也彼此相似，再由旋转型相似关系即可得：PABPA0B0PO1O2。（2）取P关于连心线O1O2的对称点Q，下面证明QAB的面积为定值。以O1为圆心作过经过P，Q两点的圆，延长PA交此圆于R，联RQ。因PRQPO1Q2PO1O2PAB（用到PABPO1O2），得RQAB，于是可作等积变形：SQABSRAB ABAR sinPAB；而ABPAPA ，PABPO1O2。再由圆幂公式知PAARO 1P2O1A2。 SQAB ABAR sinPABPAARsinPO1O2sinPO1O2定值。证毕。6. 设P、Q是ABC内两点，满足BAPCAQ，ABPCBQ，BCPACQ，PBC、PCA、PAB的外心分别为O1、O2、O3，QBC、QCA、QAB的外心分别为O1、O2、O3。设O是经过O1、O2、O3三点的圆之圆心，O是经过O1、O2、O3三点的圆之圆心。求证：OOPQ。证明 设O3、O2联线和O3、O2联线交于D点。因O3、O3分别为PAB、QAB的外心，故它们同在AB的中垂线上，即O3O3AB。类似地，O3、O2分别为PAB、PAC的外心，故它们同在AP的中垂线上，即O3O2AP。由此得O3O3O2BAP。 同样O2O2AC，且O2O3AQ，得O2O2O3CAQ。 由，及已知条件BAPCAQ知O3O3O2O2O2O3。这就表明O3、O3、O2、O2四点共圆。于是由圆幂定理得O3DDO2O3DDO2。表明D点到O及O的幂相等，是这两圆根轴上的一点。另一方面，由于D既在AP的中垂线上，又在AQ的中垂线上，因此DPDQ。 表明D点也在线段PQ的中垂线上。类似地，若设O3、O1联线和O3、O1联线交于E点。同理可证E点到O及O的幂相等，且E点也在线段PQ的中垂线上