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定积分的定义和意义 引例1:曲边梯形的面积计算 设由连续曲线y=f(x)0,直线x=a,x=b和x轴所围成的曲 边梯形.现求其面积? 如图所示 分析:求此曲边梯形的面积的思路是:用矩形来替代 曲边梯形;为了减少误差,先将曲边梯形分割,再用小矩 形近似替代小曲边梯形,然后求小矩形的面积之和,最 后通过极限法求出曲边梯形的面积. 主页下页 0 y xab A 定积分的定义和意义 如何求曲线 在区间0,1上的面积:(如图) (1)将区间0,1平分成n个小区间,记 (2)再求小曲边梯形面积近似值(取左端点函数值为高), 即 (3)求小矩形面积之和,即 (4)求小矩形面积之和 的极限,即 上页下页 x0 y 1 定积分的定义和意义 现求曲线 在区间0,1上的面积的近似值： (1)当n=10时， (2)当n=20时， (3)当n=50时， 上页下页 定积分的定义和意义 一般曲边梯形的面积计算:(如下图) (1)将区间a,b分成n个小区间,记 (2)在每个小区间求小曲边梯形近似值,即 (3)求小矩形面积之和,即 (4)求小矩形面积之和 的极限,即 上页下页 x 0 y a b 定积分的定义和意义 引例2:变速直线运动路程的计算 设物体作变速直线运动任一时刻的速度为v=v(t),求 物体在时段a,b内经过的路程? 如图所示 分析:从上图中可以看出:变速直线运动物体在时间 段a,b内所经过的路程就是曲边梯形的面积,所以用引 例1的办法可求得路程.(解题步骤略) 上页下页 0 v tab S 定积分的定义和意义 定积分的定义：设y=f(x)在a,b上有定义,将区间a,b 分成n个小区间 ,任取 作乘积并求和： ，若极限 存 在,则称这个极限值为函数y=f(x)在a,b上的定积分. 记 为 即: 注意：据定义有如下说明: (1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关； (3)规定： 上页下页 定积分的定义和意义 定积分的意义：设y=f(x)0且在a,b上连续,则 (1)若f(x)为曲线,则 表示a,b上曲边梯形的面积 ; (2)若f(x)为速度,则 表示a,b上变速运动的路程 ; (3)若f(x)为边际函数,则 表示a,b上经济变化量. 以上是导数在几何,物理,经济上的意义. 练习: (1)求曲线 所围成的面积? (2)设物体任一时刻的速度为: ,求时段1,2上的路
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