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文档简介
1对弧长的曲线积分 2对坐标的曲线积分 3对面积的曲面积分 4对坐标的曲面积分 5基本公式:格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 一、本章要点 1对弧长的曲线积分 积分形式 积分方法 (1)平面曲线积分 (1)平面曲线积分 (2)空间曲线积分 直角坐标系:设曲线 ,其中 具有连续导数,则 参数方程:设曲线 ,其中 具有连续导数,则 极坐标:设曲线 ,其中 具有连续导数,则 (2)空间曲线积分 具有连续导数,则 设曲线 ,其中 2对坐标的曲线积分 积分形式 (1)平面曲线 设有向曲线 ,则曲线积分为 (2)空间曲线 设有向曲线 ,则曲线积分为 积分方法 (1)平面曲线 具有连续导数,则 设曲线为 ,其中 (2)空间曲线 设曲线 , 其中 具有连续导数,则 3对面积的曲面积分 积分形式 积分方法 设曲面 的方程为 在 面上 投影区域为 ,则 4对坐标的曲面积分 其中:上侧取正,下侧取负 积分形式 积分方法 设曲面 的方程为 在 面上 投影区域为 ,则 5基本公式 1)格林公式 曲线积分与路径无关条件:曲线积分 设 是平面上的有界闭区域,函数 在 上有连续偏导,则 与路径无关 此时 全微分求积 满足 为全微分 此时 2)高斯公式 设 是空间的有界闭区域,函数 在 上有连 续偏导,则 向量场 的散度 3)斯托克斯公式 设 为分片光滑曲面,函数 在 上有连续偏 导,则 向量场 的旋度 课内练习: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 P246 题3(1) 计算其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示: P246 题3(3) 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. P246 题3(6) 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. (也可直接用Green公式. ) P246 题3(5) 求力沿有向闭曲线 所作的 功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, P247 题11 设三角形区域为 , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式 (三) 对面积的曲面积分的计算: 1. 化成二重积分: 一投、二代、三变换 (1) 确定曲面的单值函数的表达式; (2) 将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平 面投影,得投影区域; (3) 将曲面方程代入被积函数和曲面 面积元素dS 中, 得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投 影区域为二重积分的积分区域 ; (4) 计算二重积分. 例1 解 例2 2. 特殊计算法: 解 由对称性, 解 依对称性知: 例3 例4 解 练习 计算曲面积分 中 是球面 解 利用对称性 用重心公式 利用轮换对称性简化第一类曲面积分 轮换不变性 若曲面有轮换对称性, 则上的第一类曲 面积分有轮换不变性. 例5 解 由积分的轮换不变性知 (四).对坐标的曲面积分的计算: 1. 化为二重积分: 一投、二代、三定号 (1) 选准曲面的投影方向; (2) 将曲面的方程表示成相应变量的单值函数,代入 被积函数中去; (3) 根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号. 例6 解 利用两类曲面积分之间的关系 2. 利用两类曲面积分之间的联系: 3. 利用Gauss公式: 例7 解 由Gauss公式, 例8 解由Gauss公式, 练习: 其中 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 提示: 以半球底面 原式 = P246 题4(2) 同样可利用高斯公式计算. 记半球域为 , 高斯公式有 计算 为辅助面, 利用 P246 题4(3) 例9设 为曲
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