《曲面积分》PPT课件.ppt

1对弧长的曲线积分 2对坐标的曲线积分 3对面积的曲面积分 4对坐标的曲面积分 5基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 一、本章要点 1对弧长的曲线积分 积分形式 积分方法 (1)平面曲线积分 (1)平面曲线积分 (2)空间曲线积分 直角坐标系：设曲线 ，其中 具有连续导数，则 参数方程：设曲线 ，其中 具有连续导数，则 极坐标：设曲线 ，其中 具有连续导数，则 (2)空间曲线积分 具有连续导数，则 设曲线 ，其中 2对坐标的曲线积分 积分形式 (1)平面曲线 设有向曲线 ，则曲线积分为 (2)空间曲线 设有向曲线 ，则曲线积分为 积分方法 (1)平面曲线 具有连续导数，则 设曲线为 ，其中 (2)空间曲线 设曲线 ， 其中 具有连续导数，则 3对面积的曲面积分 积分形式 积分方法 设曲面 的方程为 在 面上 投影区域为 ，则 4对坐标的曲面积分 其中：上侧取正，下侧取负 积分形式 积分方法 设曲面 的方程为 在 面上 投影区域为 ，则 5基本公式 1)格林公式 曲线积分与路径无关条件：曲线积分 设 是平面上的有界闭区域，函数 在 上有连续偏导，则 与路径无关 此时 全微分求积 满足 为全微分 此时 2)高斯公式 设 是空间的有界闭区域，函数 在 上有连 续偏导，则 向量场 的散度 3)斯托克斯公式 设 为分片光滑曲面，函数 在 上有连续偏 导，则 向量场 的旋度 课内练习: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 P246 题3(1) 计算其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示: P246 题3(3) 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. P246 题3(6) 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. (也可直接用Green公式. ) P246 题3(5) 求力沿有向闭曲线 所作的 功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, P247 题11 设三角形区域为 , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式 (三) 对面积的曲面积分的计算: 1. 化成二重积分: 一投、二代、三变换 (1) 确定曲面的单值函数的表达式; (2) 将曲面向作为自变量的两变量所确定的坐标平 面投影,得投影区域; (3) 将曲面方程代入被积函数和曲面 面积元素dS 中, 得二重积分的被积表达式,曲面在坐标面上的投 影区域为二重积分的积分区域 ; (4) 计算二重积分. 例1 解 例2 2. 特殊计算法: 解 由对称性， 解 依对称性知： 例3 例4 解 练习 计算曲面积分 中 是球面 解 利用对称性 用重心公式 利用轮换对称性简化第一类曲面积分 轮换不变性 若曲面有轮换对称性, 则上的第一类曲 面积分有轮换不变性. 例5 解 由积分的轮换不变性知 (四).对坐标的曲面积分的计算: 1. 化为二重积分: 一投、二代、三定号 (1) 选准曲面的投影方向; (2) 将曲面的方程表示成相应变量的单值函数,代入 被积函数中去; (3) 根据曲面的侧的方向确定二重积分的符号. 例6 解 利用两类曲面积分之间的关系 2. 利用两类曲面积分之间的联系: 3. 利用Gauss公式: 例7 解 由Gauss公式， 例8 解由Gauss公式， 练习: 其中 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 提示: 以半球底面 原式 = P246 题4(2) 同样可利用高斯公式计算. 记半球域为 , 高斯公式有 计算 为辅助面, 利用 P246 题4(3) 例9设 为曲