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算 法 案 例 第一课时 1. 回顾算法的三种表示方法: (1)、自然语言 (2)、程序框图 (3)、程序语言 (三种逻辑结构) (五种基本语句) 复习引入 2. 思考: 小学学过的求两个数的最大公约数的方法? 先用两个公有的质因数连续去除,一直 除到所得的商是互质数为止,然后把所有的 除数连乘起来. 例:求下面两个正整数的最大公约数: (1)求25和35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数 25(1) 5 5 35 7 49(2) 7 7 63 9 所以,25和35的最大公约数为5所以,49和63的最大公约数为7 思考:除了用这种方法外还有没有其它方法? 例:如何算出8251和6105的最大公约数? 新课讲解: 一、辗转相除法(欧几里得算法) 1、定义: 所谓辗转相除法,就是对于给定的两个 数,用较大的数除以较小的数。若余数不为 零,则将余数和较小的数构成新的一对数, 继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数 。 2、步骤: (以求8251和6105的最大公约数的过程为例) 第一步 用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数 8251=61051+2146 结论: 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和 6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=21462+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+333 1813=3335+148 333=1482+37 148=374+0 例: 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=1351+90 135=901+45 90=452 显然37是148和37的最大公约数 ,也就是8251和6105的最大公 约数 显然45是90和45的最大公约数,也就是 225和135的最大公约数 思考1:从上面的两个例子中可以看出计 算的规律是什么? S1:用大数除以小数 S2:除数变成被除数,余数变成除数 S3:重复S1,直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤,这实际上 是一个循环结构。 8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+333 1813=3335+148 333=1482+37 148=374+0 m = n q r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 思考:你能把辗转相除法编成一个计算机程 序吗? (1)、算法步骤: 第一步:输入两个正整数m,n(mn). 第二步:计算m除以n所得的余数r. 第三步:m=n,n=r. 第四步:若r0,则m,n的最大公约数等于m; 否则转到第二步. 第五步:输出最大公约数m. (2)、程序框图: 开始 输入m,n r=m MOD n m=n r=0? 是 否 n=r 输出m 结束 (3)、程序: INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 二、更相减损术 可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更 相减损,求其等也,以等数约之。 第一步:任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数。若 是,则用2约简;若不是则执行第二步。 第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的 数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数 和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数。 (1)、九章算术中的更相减损术: 1、背景介绍: (2)、现代数学中的更相减损术: 2、定义: 所谓更相减损术,就是对于给定的两个 数,用较大的数减去较小的数,然后将差和 较小的数构成新的一对数,再用较大的数减 去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较 小的数相等,此时相等的两数便为原来两个 数的最大公约数。 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数 ,并辗转相减 986335 633528 35287 28721 21721 1477 所以,98和63的最大公约数等于7 3、方法: 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数 练习: 思路分析:先约简,再求21与18的最大公约数, 然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析:求三个数的最大公约数可以先求出两个 数的最大公约数,第三个数与前两个数的最大公约 数的最大公约数即为所求。 (1)、算法步骤 第一步:输入两个正整数a,b(ab); 第二步:若a不等于b ,则执行第三步;否则转 到第五步; 第三步:把a-b的差赋予r; 第四步:如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a,执行第二步; 第五步:输出最大公约数b. *思考:你能根据更相减损术设计程序,求两 个正整数的最大公约数吗? (2)、程序框图 开始 输入a,b ab? 是 否 输出b 结束 b=r a=b r=a-b rb r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END 比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除 法以

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