高三数学一轮复习精品课件：排列、组合.ppt

第2课时 排列、组合 基础知识梳理 排列与排列数组组合与组组合数 定 义义 1.排列：从n个不同元素中取 出m(mn)个元素， ，叫做从 n个不同元素中取出m个元素 的一个排列 2.排列数：从n个不同元素中 取出m(mn)个元素的 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素 的排列数. 1.组组合：从n个不同元素中 取出m(mn)个元素 ，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个组组合 2.组组合数：从n个不同元素 中取出m(mn)个元素的 ，叫做 从n个不同元素中取出m个 元素的组组合数 按照一 定的顺序排成一列 所有 不同排列的个数 合成一 组组 所 有不同组组合的个数 基础知识梳理 基础知识梳理 如何区分某一问题是排列问题 还是组合问题？ 【思考提示】 区分某一问问 题题是排列问题还问题还 是组组合问题问题 ，关 键键是看所选选出的元素与顺顺序是否有 关，若交换换某两个元素的位置对结对结 果产产生影响，则则是排列问题问题 ，否 则则是组组合问题问题 1(2009年高考湖北卷改编)将甲 、乙、丙、丁四名学生分到三个不同 的班，每个班至少分到一名学生，则 不同分法的种数为( ) A18 B24 C30 D36 答案：D 三基能力强化 2从1,2,3,4,5,6六个数字中，选 出一个偶数和两个奇数，组成一个没 有重复数字的三位数，这样的三位数 共有( ) A9个 B24个 C36个 D54个 答案：D 三基能力强化 2从1,2,3,4,5,6六个数字中，选 出一个偶数和两个奇数，组成一个没 有重复数字的三位数，这样的三位数 共有( ) A9个 B24个 C36个 D54个 答案：D 三基能力强化 4在10件产品中有三件是次品， 从中任取三件恰有一件次品的取法有 _种 答案：63 三基能力强化 5(教材习题改编)电视台连续播 放6个广告，其中含4个不同的商业广告 和2个不同的公益广告，要求首尾必须 播放公益广告，则共有_种不同 的播放方式(结果用数值表示) 答案：48 三基能力强化 课堂互动讲练 考点一排列数、组合数计算 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例例1 1 【思路点拨】 本题主要考查 排列数公式、阶乘的定义及运算能 力(1)是涉及含字母的排列数，但 因2、3数字比较小，仍用公式Anm n(n1)(nm1) 课堂互动讲练 【解】 (1)原方程可化为： 3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1) x3， 3(x1)(x2)2(x1)6(x1) 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【误区警示】 在解有关排列数(或 组合数)的方程或不等式时，必须注意 Anm中的n是正整数，m是非负整数，且 nm，求出方程或不等式的解后，要进 行检验，把不符合的解舍去 课堂互动讲练 涉及有限制条件的排列问题时，首先考 虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置 上的其他元素(这种方法称为特殊元素或特 殊位置法)；或者，先求出不加限制条件的 排列数，再减去不符合条件的排列数 (也叫 做间接法或排除法)，这是解排列题的基本 策略所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都 是特殊元素(位置)特殊考虑的结果 课堂互动讲练 考点二 排列应用题 课堂互动讲练 例例2 2 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下， 求不同的排列方法总数 (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻 课堂互动讲练 【思路点拨】 本题是有限制条 件的排列问题，它们分别属于相邻问 题、不相邻问题、顺序一定问题、在 与不在问题等模型，应采取相应的捆 绑法、插空法、直接法、间接法、排 除法等求解 【解】 (1)从7个人中选5个人来 排列，是选排列有A75765 43 2520(种) (2)分两步完成，先选3人排在前 排，有A73种方法，余下4人排在后排 ，有A44种方法，故共有A73A44 5040(种) (3)(优先法) 课堂互动讲练 法一：甲为特殊元素先排甲， 有5种方法；其余6人有A66种方法 ， 故共有5A663600(种) 法二：排头与排尾为特殊位置 排头与排尾从非甲的6个人中选2个排 列，有A62种方法，中间5个位置由余 下4人和甲进行全排列，有A55种方法 ，共有A62A553600(种) 课堂互动讲练 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体 ，与3名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将4名女生进行全排列 ，也有A44种方法，故共有A44A44 576(种) (5)(插空法)男生不相邻，而女生 不作要求，所以应先排女生，有A44种 方法，再在女生之间及首尾空出的5个 空位中任选3个空位排男生，有A53种 方法，故共有A44A531440(种) 课堂互动讲练 【思维总结】 求排列应用题的 主要方法有： 1直接法：把符合条件的排列数 直接列式计算 2特殊元素(或位置)优先安排的 方法即先排特殊元素或特殊位置 3排列、组合混合问题先选后排 的方法 课堂互动讲练 4相邻问题捆绑处理的方法即可 以把相邻元素看作一个整体参与其他元素 排列，同时注意捆绑元素的内部排列 5不相邻问题插空处理的方法即 先考虑不受限制的元素的排列，再将不相 邻的元素插在前面元素排列的空当中 6“小集团”排列问题中先集体后局 部的处理方法 课堂互动讲练 若将本例中的第(3)问改为“甲不站排头 ，乙不站排尾”其他条件不变，应如何求解 解：用间接法，3名男生，4名女生站成 一排的方法共有A77种 甲站在排头的方法有A66种，乙站在排 尾的方法有A66种 甲站排头，乙站排尾的方法有A55种 符合题意的方法数为：A77A66 A66A553720(种) 课堂互动讲练 互动探究互动探究 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组 合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这 些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 课堂互动讲练 考点三组合应用题 (2)“至少”或“最多”含有几个元素 的题型：解这类题必须十分重视“至少 ”与“最多”这两个关键词的含义，谨防 重复与漏解用直接法和间接法都可 以求解，通常用直接法分类复杂时， 考虑逆向思维，用间接法处理 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例例3 3 7名男生5名女生中选取5人，分别求 符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B不全当选； (3)选取3名男生和2名女生分别担任 班长、体育委员等5种不同的工作，但体 育委员必须由男生担任，班长必须由女 生担任 课堂互动讲练 【思路点拨】 (1)属于组合问题 ，可用直接法；(2)属于组合问题可用 间接法；(3)属于先选后排问题应分步 完成 【解】 (1)由于A，B必须当选， 那么从剩下的10人中选取3人即可，有 C103120(种) (2)全部选法有C125种，A，B全当选有C103 种，故A，B不全当选有C125C103672(种) (3)分三步进行： 第一步，选1男1女分别担任两个职务有 C71C51种 第二步，选2男1女补足5人有C62C41种 第三步，为这3人安排工作有A33种 由分步乘法计数原理共有 C71C51C62C41A3312600(种)选法 课堂互动讲练 【名师点评】 对于第(3)问也可 以先选人，其方法为C73C52，再分工 C31C21A33利用乘法原理C73C52C31C21 A3312600. 课堂互动讲练 题目条件不变，求符合下列条件的选法 总数有多少？ (1)A、B必不当选 (2)至少有2名女生当选 解：(1)从除去A，B两人的10人中选5人 即可， 有C105252(种) (2)注意到“至少有2名女生”的反面是只 有一名女生或没有女生，故可用间接法进行 求解 有C125C51C74C75596(种)选法 课堂互动讲练 互动探究互动探究 解排列、组合的综合应用问题，要 按照“先选后排”的原则进行，即一般是 先将符合要求的元素取出(组合)，再对 取出的元素进行排列，常用的分析方法 有：元素分析法、位置分析法、图形分 析法要根据实际问题探索分类分步的 技巧，做到层次清楚，条理分明 课堂互动讲练 考点四排列、组合应用题 课堂互动讲练 例例4 4 (解题示范)(本题满分12分) 从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试 问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有 几个？ (3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数 也排在一起的有几个？ (4)(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有 几个？ 课堂互动讲练 【思路点拨】 本题属于有限制 条件的排列、组合问题可优先考虑 特殊元素或特殊位置，采用先选后排 的顺序求解 【解】 (1)分步完成：第一步， 在4个偶数中取3个，有C43种情况；第 二步，在5个奇数中取4个，有C54种情 况；第三步，3个偶数，4个奇数进行 排列，有A77种情况所以符合题意的 七位数有C43C54A77100800(个). 3分 (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的 有C43C54A55A3314400(个). 6分 (3)上述七位数中，3个偶数排在一起， 4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22 5760(个).9分 (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可 先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5 个空档， 共有C43C54A53A4428800(个). 12分 课堂互动讲练 【规律小结】 解排列、组合应用问题 的常用思想方法： (1)对于有特殊元素或特殊位置的排列问 题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特 殊位置； (2)对于元素有顺序限制的排列，可以先 将不受限制的元素进行排列，然后将受限制 的元素按要求插入到空档里面，同时要注意 ：若空档的个数多于受限制元素的个数，则 在插入时要考虑受限制元素的排列； 课堂互动讲练 (3)间接法：先不考虑题中的 限制条件，求出一个中间结果，再 想法剔除不满足限制条件的情况， 得出最后结果 课堂互动讲练 (本题满分12分)用0、1、2、3、4、5 这六个数字 (1)可以组成多少个无重复数字的五 位数； (2)可以组成多少个无重复数字的五 位奇数； (3)可以组成多少个无重复数字的能 被5整除的五位数 课堂互动讲练 高考检阅高考检阅 解：(1)法一：(直接法)从1,2,3,4,5 这五个数字中任取一个作首位，有C51 种；余下的5个数字可排在后四位中的 任何一个位置，有A54种，由分步计数 原理，共有C51A54600(个).4分 法二：(间接法)不考虑任何限制 ，共有A65种，而0作首位时，有A54种 ，故符合题意的数字个数为A65A54 600(个).4分 课堂互动讲练 (2)一个数是否为奇数取决于个位数字 ，所以个位为特殊位置，又0不能排在首位 ，所以0为特殊数字，应优先考虑，有 C31C41A43288(个). 8分 (3)能被5整除的五位数，则个位数字是 0或5. 当个位数字是0时，共有A54个； 当个位数字是5时，共有C41A43个， 由分类计数原理，符合题意的数字共有 A54C41A43216(个). 12分 课堂互动讲练 1对于有附加条件的排列组合应用 题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊 元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊 位置的要求，再考虑其他位置； (3