线性代数同济大学3-习题.pptxVIP

1 updown CH3 矩阵的初等变换 与线性方程组 习 题 课 一、基本内容 二、典型例题 2 updown 一、基本内容 、初等变换 的定义 换法变换 对调矩阵的两行 (列),记作 r i r j(ci c j); 倍法变换 以数k 0乘某一行(列)中的所有元素 ,记作 r ik(cik); 消法变换 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行 (列) 对应 的元素上去 ,记作r i k r j(ci k c j). ri (ci ) 3 updown 初等变换 逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换 ri r j(ci c j) ri k(ci k) ri kr j(ci kc j) ri r j(ci c j) 1 1 k k ri (k)r j(ci (k)c j) 4 updown 反身性 对称性 传递性 A A; 若A B,则B A; 若A B,B C,则A C. 、矩阵的等价 如果矩阵A经有限次初等变换变 成 矩阵B,就 称矩阵A与B等价,记作A B. 5 updown 、初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵 三种初等变换对应 着三种初等矩阵 6 updown （）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 E(i, j) 用m阶初等矩阵 E m(i, j)左乘A (aij)mn,相 当于对矩阵 A施行第一种初等行变换 :把A的第i 行与第j行对调(r i r j). 类似地,用n阶初等矩阵 E n(i, j)右乘矩阵 A, 相当于对矩阵 A施行第一种初等列变换 :把A的 第i列与第j列对调(ci c j). 7 updown （）倍法变换：以数 k（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵E(i(k) 以 E m(i(k)左乘矩阵 A,相当于以数 k乘A的 第i行(r ik); 以 E n(i(k)右乘矩阵 A,相当于以数 k乘A的 第i列(cik). 8 updown （）消法变换：以数 k 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 E(ij(k) 以E m(ij(k)左乘矩阵A,相当于把A的第j行乘 以k加到第i行上(r i k r j); 以E n(ij(k)右乘矩阵A,相当于把A的第i列乘 以k加到第j列上(c j k ci). 1 1 2 1 4 9 updown 一个非零元 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 、行阶梯形矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 10 updown 例如 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 、行最简形矩阵 经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0 c4 c4c1c2 1 3 4 3 3 0 c5 c1 c2 c 11 updown 1 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 1 1 0 3 0 、矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0 例如 12 updown 任何一个mn矩阵,总可以经过 初等变换 (行变 换和列变换 ),化为标 准形 F O Omn 此标准形由m,n,r三个数完全确定,其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数. 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 F是这个等价类中形状最简单的 矩阵 13 updown 、矩阵的秩 定义 在m n矩阵 A中,任取 k行和 k列,位于这些 行列交叉处的 k 2个元素 ,不改变它们在 A中所处 的位置次序而得到的 k阶行列式 ,称为矩阵 A的 k阶子式 . 定义 设在矩阵 A中有一个不等于 0的r阶子式 D, 且所有 r 1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0,那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式 ,数r称为矩阵 A 的秩 ,记作 R(A).并规定零矩阵的秩等于 0. 14 updown 、矩阵秩的性质及定理 如果A中有一个非零的 r阶子式,则R(A) r; 如果A中所有r 1阶子式都为零,则R(A) r; R(AT) R(A); 定理 若A B,则R(A) R(B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 R(A ) R(A), 15 updown 矩阵的秩的性质 若A为mn矩阵，则 0 R(A) minm,n; R(kA) R(A)(k 0); T 若A B，则R(A) R(B). 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) R(A); maxR(A),R(B) R(A,B) R(A) R(B), 特别地，当为列向量时，有 R(A) R(A,b) R(A)1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩， 不超过所有子块的秩之和. 16 updown 若AmnBnl O, 则R(A) R(B) n. R(A B) R(A) R(B); R(AB) minR(A),R(B); 17 updown (1) (2) (3) (4) A的最高阶非零子式为 A; R(A) n; A的标准形为单位矩阵 E; A E. 若A为n阶可逆矩阵,则 18 updown 、线性方程组有解判别定理 定理 n元齐次线性方程组 Amn x 0有非零解的 充分必要条件是系数矩 阵的秩R(A) n. 定理 n元非齐次线性方程组 Amn x b有解的充 分必要条件是系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B (A,b)的秩. 19 updown 10、线性方程组的解法 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解 20 updown 11、初等矩阵与初等变换 的关系 定理设 A是一个 m n矩阵,对A施行一次初等行 变换 ,相当于在A左边乘以相应的 m阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换 ,相当于在A的右边乘以 相应的n阶初等矩阵 . 定理 方阵A可逆， 存在有限个初等阵 P1,P2,Pl,使A P1P2Pl. 推论 mn矩阵A B的充分必要条件是 :存在m 阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵 Q,使得PAQ B. 21 updown 二、典型例题 1.求矩阵的秩 2.求解线性方程组 3.应用线性方程组解的判别定理 4.求逆矩阵和解矩阵方程的初等变换 法 22 updown 1、求矩阵的秩 求矩阵的秩有下列基本方法： ( 1 ) 最高阶非 零 子式的阶数 ； ( 2 ) 初等变换 法. 有限次初等行变换 AmnBmn (行阶梯形) B中非零行的行数即为A的秩 . 注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形 23 updown 2、求解线性方程组 当方程的个数与未知数的个数不相同时， 一般用初等行变换 求方程的解 当方程的个数与未知数的个数相同时， 求线性方程组的解一般有两种方法： 初等行变换 法和克拉默法则 24 updown (1) (2) (3) (4) A 0; n阶齐次线性方程组 Ax o 有非零解; (A B)2 A 2 B 2; A O; 例设A,B为 n 阶方阵，若 AB O, 且 B O， 则必有（2）. 3、应用线性方程组解的判别定理 , 或者对分块矩阵 施行初等列变换 当 up down 要求可逆矩阵A的逆矩阵,只需对分块矩阵 AE施行初等行变换 ,当把A变成E时,原来的 E就变成了A1. A E 把 A变成E时,原来的E就变成了A1. 4、求逆矩阵和解矩阵方程的初等变换 法 注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换 25 A 初等列变换 X (A B ) (E (A ) B ) X (A ) B 1 TT 26 updown 解矩阵方程的初等变换法 (1)AX B (A B) 初等行变换 (E A1B) X A1B (2)XA B E B A1 B BA 1 T TT T 初等行变换 X B A1 T 1 或者 1 1 0 ,且 AX A2X,求矩阵 X. 0 1 4 0 1 0 43 2 , 0 0 1 2 2 3 故 X 4 3 2 . 2 2 3 27 updown 例 3 0 1 设 A 解：因为 AX A 2X, 所以 (A 2E)X A, 1 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 4 5 2 2 1 0 0 5 2 2 初等行变换 2x1 x2 x3 0 28 updown x1 kx2 x3 0 kx2 3x3 0 只有零解，则 k应满足的条件是 思考练习 一、填空题 1若 n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r ，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方 程组有无穷多解 r n, r n 2齐次线性方程组 3 5 k 29 updown 1 1 ,则AX 0的通解为 1 1 1 3. 设A 1 1 1 1 零解 4线性方程组 x1 x2 a1 3 2 x3 x4 a3 5 4 x5 x1 a5 有解的充要条件是 a1 a2 a3 a4 a5 0 0 0 0 1 6.矩阵A 1 1 0 1 2 2 0 1 30 updown 的秩是 1 1 0 0 5.设A为4阶方阵,且秩RA 3,则RA1 2 （可参见ch4 109页25题） 31 updown 补例1 设 AmnBns O,且 r(A) n,证明 B O。 证明：法1 B (Ab1 Ab2 Abs) (o o o) Abi o (i 1,2,s), 因而B的列向量bi 为Ax o的解向量 而当 R(Amn) n时， Amnx o只有零解， 故 bi o， 即 B O。 法2 由秩的性质可知,若 AmnBns O，则 r(A) r(B) n 又 由 于 R( A) n,故 R(B) 0， 因而R(B) 0,即B O。 32 updown 证明当m n时 ,| AmnBnm | 0。 ) 补例2 证明由秩的性质可知 R(AB) minR(A), R(B) n m , 故 R(AB)m, 而 AmnBnm 为m 阶方阵，|AB|=0 补例3 已知A mn ,Bnm，则齐次方程组ABxo( 2 (1)当n m时，仅有零解； (2)当m n时，必有非零解； (3)当m n时，仅有零解； (4)当n m时，必有非零解。 33 updown 补例4 设A是mn矩阵，m n，其秩 R(A) m,则（ 4） (1)存在 m 阶不可逆矩阵Q ,使QA=(Em,O) ; (2)存在 m 阶可逆矩阵 P ,使PA=(Em,O) ; (3)齐次线性方程组 Ax o只有零解; (4)非齐次线性方程组 Ax b一定有无穷多解。 说明 当mn矩阵A的秩R(A)m行数时，称A为行满秩矩阵。 m R(Amn) R(A,b)m(n1) m 若 A为行满秩矩阵，则对 于任意的列向量b o,Ax b均有解。 特别的，若再满足 m n，则Ax b必有无穷多解 a1b1 已知A a1b2 a1bn , 且a1a2anb1an 0，则R(A) _. 34 a2b2 a2bn anb2 anbn 练习 2 a2b1 anb1 练习 1 设R(A35) 3，那么A35必满足（ D ） . A.三阶子式全为零； B.至