高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度.ppt

第八章 多元函数微分学 第七节 上页 下页 返回 结束 方向导数与梯度 v 方向导数的定义与计算 v 梯度的概念与计算 引例. 设有一矩形金属板， 分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不 同， 如何确定这个方向？ 利用方向导数！ 上页 下页 返回 结束 凉快的地点？ 在其上坐标原点处有 一火源， 它使金属板发热 假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比 在点(3,2)处有一只 问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最快到达较 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向） 爬行 蚂蚁， 一、方向导数的定义与计算 (如图). 上页 下页 返回 结束 确定函数在点 P 处沿某一方向 的变化率 引射线 l 内有定义，的某一邻域 在点设函数 过P , lx 上的另一点且 为l 并设为 的转角轴正向到射线设 j 意义： 当 沿着 趋于 时， 就是 z = f (x, y)在点P 沿方向l 的变化率 . 上页 下页 返回 结束 这个比值刻画的是z = f (x, y) 沿方向l 的平 均变化率.极限 记为 上页 下页 返回 结束 沿方向l 的方向导数则称此极限为函数在点P 如果极限定义 沿 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数分别是 yx ff-,. 存在， , 即 z =),(yxf 在点P 沿 x 轴正向0 , 1 1 =e r 的方向 导数是 x f , 沿y 轴正向1 , 0 2 =e r y . f 的方向导数是 证由于函数可微， 两边同除以得到 上页 下页 返回 结束 定理 ),(yxf z = 在点 ),(yxP 可微， 在该点沿任意方向l 的方向导数都存在， jjsincos y f x f l f + = 其中j为x轴到方向l 的转角 如果函数 且有 则 ),(yxf z = 故增量 因此，方向导数 上页 下页 返回 结束 推广: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且 特别地， 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 可微,若三元函数 u = 在点x,(),zyP, , y)(zxf 的方向角.为l,其中 gba 上页 下页 返回 结束 解 上页 下页 返回 结束 例1.求函数 y xez 2 = 在点)0 , 1(P处沿从点)0 , 1(P 到点)1 , 2 (-Q 方向的方向导数. x 轴到方向 l r 的转角 4 p -=j 这里的方向l 是1, 1 - =PQ 所求方向导数 例2. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 的方向导数 . 解 向量 l 的方向余弦为 上页 下页 返回 结束 例3. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 上页 下页 返回 结束 例4. 设是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解 方向余弦为 而 同理得 方向的方向导数. 在点P 处沿求函数 上页 下页 返回 结束 二、梯度的概念与计算 上页 下页 返回 结束 最快？沿哪一方向增加的速度函数值在点问题： P 定义 设函数),(yxf z = 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，DyxP ),( ,称向量 j y f i x frr + ),(yxf z = 在点),(yxP的梯度， ),(yxgradfj y f i x frr + 则对每一点 为函数记为 = 上页 下页 返回 结束 设是方向上的单位向量, 由方向导数公式,得 其中 l f 有最大值. ),( ,e yxgradf r =q 当 1),(cos(=eyxgradf r 时， 为梯度向量与方向l 的夹角. 结论 上页 下页 返回 结束 函数在某点的梯度是这样一个向量： 方向与取得最大方向导数的方向一致, 梯度的模为方向导数的最大值 它的 梯度的模为 2 2 | ),(| + = y f x f yxgradf 该方向是函数值增加最快的方向； 在几何上 表示一个曲面, 曲面被平面 所截得曲线 在xOy面上投影如图 等值线 梯度为等值线上的法向量 上页 下页 返回 结束 例如, 上页 下页 返回 结束 图形及其等值线图形函数xyzsin = 梯度与等值线（等高线）的关系： 上页 下页 返回 结束 方向上的方向导数. 等值线指向数值较高的等值线， 且从数值较低的个方向相同， 在该点的法线的一 处等值线的梯度的方向与点P = c yxf),( 在点函数yxP),(yxf z = ),( 而梯度的模等于函数在该法线 等值线 三元函数的梯度有类似的解释. 解 由梯度计算公式得 故 上页 下页 返回 结束 例5. 求函数 yxzyxu2332 222 -+= 在点 )2 , 1 , 1 (处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？ 在)0 , 2 1 , 2 3 ( 0 -P 处梯度为0. 内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 上页 下页 返回 结束 2. 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为 3. 关系 方向导数存在 可微 梯度在方向 l 上的投影. 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 思考题 上页 下页 返回 结束 讨论函数 22 ),(yxyxfz+=在 )0 , 0( 处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 同理， )0,0( y z y y yD D = D | lim