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第七节 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、两直线的夹角 三、直线与平面的夹角 一、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量 / 2、空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 此式称为直线的对称式方程 (也称为点向式方程) 直线方程为例如, 当 可将对称式方程拆为一般方程 如对称式方程为 可写成一般方程 可将直线的对称式方程 又如 注 可写成一般方程 化为一般方程吗 各类直线方程的互换 例1 求过点A(1,2,-3)和B（2,-1,5）的直线方程. 解 因为直线过点A和B, 所以: 例2.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解 所以交点为 取 所求直线方程 解 例4 二、两直线间的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 特别有: 直线 直线 例如， 例5. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 解设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 代入平面方程得 ,交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 三 . 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例8. 求过点(1,2 , 4) 且与平面 解 为所求夹角 关于夹角的说明: 平面束 通过定直线的所有平面的全体称为平面束 设直线L的方程为 那么三元一次方程 称为通过直线L的平面束方程 注意：平面束方程（3）中不包含平面（2） （2） （3） （1） 例10 解 投影直线的方程为 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 直线 2. 线与线的关系 直线 夹角公式: 平面
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