两个向量的数量积(2).ppt

空间两个向量的数量积(一) 一 复习引入 已知两个非零向量 , 作 , 则 叫做向量 的夹角. 已知两个非零向量 ,它们的夹角 为 ,我们把 叫做向量 的数量积,记做 ,即 = . 1 向量的夹角: O A B 2 平面向量数量积: 3 平面向量数量积的性质 4 平面向量数量积的运算律 （交换律） （分配律） （数乘结合律） 二、提出问题 将平面向量的数量积拓展到空间，将如何呢？ 三、概念形成 概念1.空间两个向量的夹角 实质上，由于空间两个向量一定是共面向量 ，所以，空间两个向量的夹角与平面向量的 概念一样 OA B B 已知两个非零向量 , 在空间任取一点O，作 ，则AOB叫做向量 与 的夹 角，记作：规定： 三、概念形成 概念1.空间两个向量的夹角 显然，对于任意两个空间向量 如果 ，则称两个向量互相垂直，记作 由于空间任意两个向量一定共面，但是向量的 基线不一定共面，我们把不同在任何一个平面内的 两条直线叫做异面直线，把两条异面直线平移到一 个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做 两条异面直线所成的角。如果所成角是直角，则称 两条异面直线互相垂直。 三、概念形成 概念1.空间两个向量的夹角 例子： 如图，表示一个正方体，求下列各对向量的夹角： AB C D A1 B1 C1 D1 (1) (2) (3) (4) 三、概念形成 概念2.两个向量的数量积 已知空间两个非零向量 , 则 叫做 的数量积(内积)，记作 , 即 注意: 两个向量的数量积是数量，而不是向量。 规定：零向量与任意向量的数量积等于零。 由于任意两个空间向量是共面的，所以平面两个向量的数 量积可以直接推广到空间。 三、概念形成 概念2.两个向量的数量积 与平面向量数量积一样，两个空间向量的数量积有如下性质: 例子： 设 求： 三、概念形成 概念2.两个向量的数量积 两个空间向量的数量积同样满足下列运算律: (交换律) (分配律) 思考： 吗？ (2)对于向量 ， 成立吗？ 证明请参阅课本 87页 四、应用举例 例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面 AB1的中心，F为A1D1的中点，计算下列数量积 (1) (2) (3) A B C D A1 B1 C1 D1 四、应用举例 例2.已知空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC， OA=OB=OC。M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点。求证 ：OGBC。 O A B C M N G 证明： 说明：在空间证明两条直线垂直，利用向量的内积是一种 常用方法。（向量法证明垂直） 四、应用举例 例3.如图所示，在空间四边形OABCD中，OA=8，AB=6，AC=4 ，BC=5，OAC=45，OAB=60，求异面直线OA与BC所 成角的余弦值。 O A B C 8 6 4 5 利用向量求异面直线所成角时应注意 ，异面直线所成角的范围是 与两向量夹角的范围不同。 五、课堂练习 思 考 ? ? 课本第88页，练习A，1，2，3 六、课堂总结 2.空间两个向量数量积的概念、性