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高高 等等 数数 学学 第一章 函数与极限 10 闭区间上连续函数的性质 第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 由定理 1 可知有证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点且 使 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然又 故据零点定理, 至少存在一点使即 说明: 内必有方程的根 ; 取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根. 二分法 在区间内至少有 则 则 上连续 , 且恒为正 , 例2. 设 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使故由零点定理知 , 存在即 当时, 取或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与
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