高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分.ppt

第2章 导数及微分 【学习目标】 1.了解导数、微分的概念及导数、微分的几何意义，会求曲线的切线和法线方 程； 2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函 数的求导方法； 3.了解高阶导数的定义，会求高阶导数；理解二元函数偏导数的概念，会计算 简单的二元函数的偏导数； 4.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则，会用微分近似公式进 行计算. 2.1 导数的概念 1.问题的提出 引例1 变速直线运动的速度问题. 设一质点从点出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一 时刻t0的瞬时速度，如图2-1所示. 我们知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过的路程s与所用时间t之 比，即 设变速直线运动的质点在时刻t0 到 t0+t 内所经过的路程为s， 即 则在时间段t内的平均速度 显然，时间段t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平 均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当t0，平均速度v的极 限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即 2.导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量 x(x0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量) 为y=f(x0+x)f(x0).当x0时，若比值yx 的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f(x0)， 即 也记作 如果极限 不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导. 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导. 对每一个x(a,b)，都对应着函数y=f(x)的一个导数值，于是得到一个新的函 数f(x)，这个新的函数f(x)称为函数y=f(x)的导函数，简称为 导数.记作f(x)，即 显然，函数y=f(x)在点x0处的导数值f(x0)，就是导函数f(x)在点 x0的函数值. 由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)的质点在t0时刻的瞬时速度( )()，引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率k=f(x0). 3.导数的几何意义 由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x0处的导数f(x0)，表示曲线y=f(x)上的点 M0(x0,y0)的切线斜率，这就是导数的几何意义. 如图-3所示，若切线的倾斜角为，则 如果f(x0)不存在，即斜率k=tan不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲 线y=f(x)在点M0处有垂直于x轴的切线. 在工程技术上，经常要用到法线的有关知识，把过切点且与切线垂直的直线称 为法线. 根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为 对应的法线方程为 当f(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0. .2 初等函数的求导法则 1.导数的基本公式 前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定 义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助 这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的 导数基本公式如下： 2.和、差、积、商的求导法则 若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)v(x)，u(x)v(x)， (v(x)0)都在点x处可导，并且 特别地，当u(x)=C(为常数)时，有()(). 3.复合函数的导数 如果函数u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=(x)处也可导，则复合 函数y=f(x)在点x处可导，且 这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形，如果y=y(u)，u=u(v)， v=v(x)，且它们在各对应点处的导数存在，则 上述公式也叫复合函数求导的链式法则. 利用复合函数的链式法则求导时，关键是将所给的复合函数分解成若干个简 单的函数，而这些简单函数的导数是可求的. 4.高阶导数 定义 如果函数y=f(x)的导数f(x)仍可导，那么f(x)叫做函数 y=f(x)的二阶导数，记作y，即 也记作 相应地，()为函数()的一阶导数. 一般地，函数y=f(x)的n1阶导数的导数称为()的n阶导数，记作 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 2.3 隐函数及偏导数 1.隐函数的导数 如果对于x值，通过F(x,y)=0都有确定的y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也 就确定y是x的函数.这种函数关系，隐藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程 F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数. 如果y能从方程F(x,y)=0中解出，那么隐函数成为显函数y=f(x)，它的导数可 按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出的隐函数. 2.偏导数 函数y=f(x)只含一个自变量时，我们把它叫做一元函数.如果有三个变量x、y、z ，对于变量x、y，在各自变化范围内的每一组确定的x、y的值，按照某种对应关系，z 都有唯一确定的值与之相对应，那么称z为x、y的二元函数，记作z=f(x,y). 定义 设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的附近有定义，当自变量y保持y0不变 ，而自变量x有改变量x时，函数相应地有关于x的改变量(偏改变量或偏增量) 如果极限 存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处，对x的偏导数，记作 类似地，可以定义函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数，记作 如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在 ，那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称 偏导数，记作 类似地，可以定义(，)对自变量y的偏导数，记作 那么，(x0，)、(x0，)就是偏导数(，)、(，)在 点(x0，)处的函数值. 按照对自变量求导次序的不同，可得到以下四个二阶偏导数，分别记作 其中 称为(，)的二阶混合偏导数.以此类推， 可得三阶、四阶、阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.记号 与二阶偏导数类似. 2.4 函数的微分 1.函数微分的概念 在实际问题中，有时还需要研究函数改变量的近似值. 定义 设函数()在点x0处可导，则称(x0)为函数( )在点x0处的微分，记作x0，即 可见，微分有如下特点： (1)微分是函数改变量的主要部分，当很小时，可用它近似代替 ； (2)微分x0(x0)是的线性函数，以导数(x0)为系数 ，较容易计算. 根据微分的定义，得 也就是说，自变量的微分就是自变量的改变量，即 通常，把函数()在处的微分()写成 从而 就是说，函数的导数等于函数微分与自变量微分之商.因此，导数也叫做微 商，函数可导也叫做函数可微，反之亦然. 2.微分的基本公式和运算法则 由于函数微分等于函数导数与自变量微分之积，因此容易得到如下的微分公式 和运算法则. 由导数的基本公式，可得微分的基本公式如下： 如果函数()，()在点处都可微，那么、/(